1 . 综合与实践:
在综合与实践课上,刘老师引导学生探究矩形的折叠.
矩形纸片中,点为射线上一点,小明沿折叠得到,点的对应点为,分别延长,交直线于点,N.
【问题提出】
(1)如图1,若点与点重合,请判断与的数量关系为______;
【再次探究】
(2)如图2,当点与点不重合时,()中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
【拓展延伸】
(3)若,,当时,直接写出的长.
在综合与实践课上,刘老师引导学生探究矩形的折叠.
矩形纸片中,点为射线上一点,小明沿折叠得到,点的对应点为,分别延长,交直线于点,N.
【问题提出】
(1)如图1,若点与点重合,请判断与的数量关系为______;
【再次探究】
(2)如图2,当点与点不重合时,()中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
【拓展延伸】
(3)若,,当时,直接写出的长.
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2 . 如图1,在中,,点D、E分别在边、上,.将绕点A逆时针旋转,直线,相交于点.
(1)观察猜想:若,将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置,则线段与的数量关系是_____,位置关系是_____;
(2)探究证明:如图3,若,将绕点A逆时针旋转.(1)中的结论是否仍成立2?若成立,加以证明;否则,请写出正确结论,并说明理由.
(3)拓展延伸:在(2)的条件下,若,E是的中点在旋转过程中,当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时,直接写出的长.
(1)观察猜想:若,将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置,则线段与的数量关系是_____,位置关系是_____;
(2)探究证明:如图3,若,将绕点A逆时针旋转.(1)中的结论是否仍成立2?若成立,加以证明;否则,请写出正确结论,并说明理由.
(3)拓展延伸:在(2)的条件下,若,E是的中点在旋转过程中,当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时,直接写出的长.
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3 . 【问题情境】
小睿遇到这样一个问题:如图1,在中,点D在线段上,,,,,求的长.【问题探究】
小睿发现,过点C作,交的延长线于点E,经过推理和计算能够使问题得到解决,如图2.
(1)①的度数为______;②求的长;
【问题拓展】
(2)如图3,在四边形中,,,,与交于点E,,,求的长.
小睿遇到这样一个问题:如图1,在中,点D在线段上,,,,,求的长.【问题探究】
小睿发现,过点C作,交的延长线于点E,经过推理和计算能够使问题得到解决,如图2.
(1)①的度数为______;②求的长;
【问题拓展】
(2)如图3,在四边形中,,,,与交于点E,,,求的长.
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2024-03-02更新
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119次组卷
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5卷引用:辽宁省铁岭市开原市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题
4 . 如图,在菱形中,,E为边上一动点(点E不与B,C重合),连接,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接,,交边于点H,设,.
【尝试初探】
(1)如图1,求证:;
【深入探究】
(2)如图2,连接CF,当时,探究得出y的值为1,请写出证明过程;
【联系拓展】
(3)结合(2)的探究经验,从特殊到一般,最后得出y与x之间满足的关系式为.请根据该关系式,解决下列问题:连接,若,当为等腰三角形时,求的长.
【尝试初探】
(1)如图1,求证:;
【深入探究】
(2)如图2,连接CF,当时,探究得出y的值为1,请写出证明过程;
【联系拓展】
(3)结合(2)的探究经验,从特殊到一般,最后得出y与x之间满足的关系式为.请根据该关系式,解决下列问题:连接,若,当为等腰三角形时,求的长.
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5 . 综合与实践
如图1所示,正方形绕正方形的顶点B逆时针旋转度(),与交于点H.
【初步感知】如图1,当时,则______度;
【探究发现】如图2,连接、、,判断与的数量关系,并说明理由;
【应用拓展】当G,F,D三点共线时,若正方形的边长为,,则正方形的边长为______.
如图1所示,正方形绕正方形的顶点B逆时针旋转度(),与交于点H.
【初步感知】如图1,当时,则______度;
【探究发现】如图2,连接、、,判断与的数量关系,并说明理由;
【应用拓展】当G,F,D三点共线时,若正方形的边长为,,则正方形的边长为______.
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6 . 【问题情境】如图,在中,,,点D在边上,将线段绕点D顺时针旋转得到线段(旋转角小于180°),连接,以为底边在其上方作等腰三角形,使,连接.
【特例感知】
(1)①如图1,当时,则与的数量关系为__________;
(2)②如图2,当时,写出与的数量关系,请说明理由;
【尝试探究】
(3)如图3,写出与的数量关系(用含的三角函数表示),并说明理由.
【拓展应用】
(4)如图4,当,且点B,E,F三点共线时,若,,请直接写出AF的长.
【特例感知】
(1)①如图1,当时,则与的数量关系为__________;
(2)②如图2,当时,写出与的数量关系,请说明理由;
【尝试探究】
(3)如图3,写出与的数量关系(用含的三角函数表示),并说明理由.
【拓展应用】
(4)如图4,当,且点B,E,F三点共线时,若,,请直接写出AF的长.
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名校
7 . 课本再现:
(1)在图1中,一块材料的形状是锐角三角形,边,高.把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在上,求这个正方形的边长.
变式探究:
(2)如图2,若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件,请你探究与的数量关系,并说明理由.
拓展延伸:
(3)如图3,若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件,且,请你探究的值.
(4)如图4,若一块三角形材料用同样的方式,可以加工成个相同大小的正方形零件,设每个正方形的边长为a,则 .(用含a,n的代数式表示,直接写出结果)
(1)在图1中,一块材料的形状是锐角三角形,边,高.把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在上,求这个正方形的边长.
变式探究:
(2)如图2,若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件,请你探究与的数量关系,并说明理由.
拓展延伸:
(3)如图3,若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件,且,请你探究的值.
(4)如图4,若一块三角形材料用同样的方式,可以加工成个相同大小的正方形零件,设每个正方形的边长为a,则 .(用含a,n的代数式表示,直接写出结果)
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2024-02-25更新
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79次组卷
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2卷引用:江西省南昌市外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
8 . 如图1,已知点G在正方形的对角线上,,垂足为点E,,垂足为点F.
(1)证明与推断:
②求证:四边形是正方形;
②推断:的值为___________;
(2)探究与证明:
将正方形的绕点C顺时针方向旋转,如图2所示,试探究线段与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形在旋转过程中,当B、E、F三点在一条直线上时,如图3所示,延长交于点H,若,则___________.
(1)证明与推断:
②求证:四边形是正方形;
②推断:的值为___________;
(2)探究与证明:
将正方形的绕点C顺时针方向旋转,如图2所示,试探究线段与之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形在旋转过程中,当B、E、F三点在一条直线上时,如图3所示,延长交于点H,若,则___________.
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2022-09-02更新
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403次组卷
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5卷引用:湖北省咸宁市通城县南门初级中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题
9 . (1)尝试探究:如图①,在中,,,点E、F分别是边、上的点,且.
①的值为______;
②直线与直线的位置关系为______;
(2)类比延伸:如图②,若将图①中的绕点C顺时针旋转,连接,,则在旋转的过程中,请求的值并判断直线与直线的位置关系,并说明理由;
(3)拓展运用:若,,在图②旋转过程中,当B,E,F三点在同一直线上时,请直接写出此时线段的长.
①的值为______;
②直线与直线的位置关系为______;
(2)类比延伸:如图②,若将图①中的绕点C顺时针旋转,连接,,则在旋转的过程中,请求的值并判断直线与直线的位置关系,并说明理由;
(3)拓展运用:若,,在图②旋转过程中,当B,E,F三点在同一直线上时,请直接写出此时线段的长.
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10 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中,对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:
【观察与猜想】(1)如图 1,在正方形中,点 E、 F分别是 、上的两点,连接、 ,,则的值为 ;
【类比探究】(2)如图 2 ,在矩形 中, ,点 E是 上的一点,连接、 ,且,求的值;
【拓展延伸】(3)如图3,在四边形中,,,,点E为 上一点,连接,过点 C作的垂线交的延长线于点 G,交 的延长线于点 F,求的值;
【观察与猜想】(1)如图 1,在正方形中,点 E、 F分别是 、上的两点,连接、 ,,则的值为 ;
【类比探究】(2)如图 2 ,在矩形 中, ,点 E是 上的一点,连接、 ,且,求的值;
【拓展延伸】(3)如图3,在四边形中,,,,点E为 上一点,连接,过点 C作的垂线交的延长线于点 G,交 的延长线于点 F,求的值;
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