1 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

2 . 【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，，求证：；

【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又，点，分别在边，上，若，则的值为________；（直接写出结果）
【联系拓展】
（3）如图3，四边形中，，，，，点，分别在边，上，求的值．

3 . 综合与探究

(1)【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到．进而得到      ，      ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
(2)【应用】如图2，点B，P，D都在直线上，并且．若，，，用含的式子表示的长；
(3)【拓展】在中，点D，E分别是边，上的点，连接，，，，．若为直角三角形，求的长；

4 . 问题发现】
（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点．为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
   
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2．当点P在对角线上：
   
①求证：点E在边所在直线上；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积及的长．
   

5 . （1）问题发现，如图1，在中，，点是边上一动点（不与点重合），，连接．

   

(1)①求的值；
②求的度数．
(2)拓展探究，如图2，在中，．点是边上一动点（不与点重合），，连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．

6 . 体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．
探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．
拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
   

7 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．
   

8 . 在，，为边上一点，点、分别在、边上，且．作于点，于点．

(1)特殊验证：如图1，若，且为中点，求证：，；
(2)拓展探究：若．
①如图2，若为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若，条件中“点在边上”改为“点在线段的延长线上”，其它条件不变，请探究与的数量关系并加以证明．

9 . 课题学习：
【证明体验】

（1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．

10 . 华师版八年级下册数学教材第页习题第小题及参考答案．

如图，在正方形中，求证：． ‍ 证明：设与交于点， ‍四边形是正方形， ‍，． ‍， ‍， ‍． ‍． ‍， ‍． ‍．

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．

【问题探究】
（1）如图，在正方形中，点、、、分别在线段、、、上，且试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
（2）如图，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且则     ．
【拓展应用】
（3）如图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值．