1 . 综合与实践
已知在
中，
，
，
，
为
上一点，过点作射线
，分别交
于点
．
(1)观察判断：当为的中点，且
，
时，如图
，
______．
(2)类比探究：若为的中点，将
绕点旋转到图2位置时，对比（），
的值是否保持不变？请说明理由．
(3)拓展应用：若改变点的位置，且
时，如图
，直接写出的值（用含
的式子表示）
已知在
中，，，，为上一点，过点作射线，分别交于点．(1)观察判断：当
为的中点，且，时，如图，______．(2)类比探究：若
为的中点，将绕点旋转到图2位置时，对比（），的值是否保持不变？请说明理由．(3)拓展应用：若改变点
的位置，且时，如图，直接写出的值（用含的式子表示）
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名校
2 . 完成下列各题：
(1)【问题呈现】如图1，
和
都是等边三角形，连接
，
．请直接写出和的数量关系．
(2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，
．连接，．请直接写出
的值．
(3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且
．连接，．
①求的值；
②延长交于点
，交
于点
．求
的值．
(1)【问题呈现】如图1，
和都是等边三角形，连接，．请直接写出和的数量关系．(2)【类比探究】如图2，
和都是等腰直角三角形，．连接，．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，
和都是直角三角形，，且．连接，．①求
的值；②延长
交于点，交于点．求的值．
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3 . 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．
如图1，在四边形
中，点
为上一点，
，求证：
．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当
时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，
，
，以点
为直角顶点作等腰
，点在上，点
在
上，点在上，且
，若
，求
的长．
如图1，在四边形
中，点为上一点，，求证：．【思考探究】
（2）如图2，在四边形
中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在
中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．
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4 . 如图1，在中，
，D是边的中点，以D为角的顶点作
，射线
经过点A，
交边于点E．
(1)在图1中，请直接写出在
，
和中哪些与相似；
(2)将
从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于
），如图2所示，射线
分别交
于点E，F．
观察判断 试判断
与
是否相似，并说明理由；
操作探究 若
，
，如图3所示，在边上有一点P，且
，若点P始终在内（包括边界上），求
的取值范围；
拓展应用 若
，直接写出旋转角为多少度时，
与相似．
中，，D是边的中点，以D为角的顶点作，射线经过点A，交边于点E．(1)在图1中，请直接写出在
，和中哪些与相似；(2)将
从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于），如图2所示，射线分别交于点E，F．观察判断 试判断
与是否相似，并说明理由；操作探究 若
，，如图3所示，在边上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；拓展应用 若
，直接写出旋转角为多少度时，与相似．
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5 . 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图，在平行四边形中，点是的中点，点是线段
上一点，
的延长线交射线于点．若
，求
的值．
(1)尝试探究
在图中，过点作
交
于点
，则
______，
______．
(2)类比延伸
如图
，在原题的条件下，若
，求的值
用含有
的代数式表示
．试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图，在四边形中，
，点是的延长线上的一点，和相交于点
若
，
，
，则
的值是______用含
、
的代数式表示．
原题：如图
，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值． (1)尝试探究
在图
中，过点作交于点，则 ______， ______．(2)类比延伸
如图
，在原题的条件下，若，求的值用含有的代数式表示 ．试写出解答过程．(3)拓展迁移
如图
，在四边形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点若，，，则的值是______用含、的代数式表示．
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6 . 综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形
中，点
在一条直线上，连接
（如图1）
操作发现
（1）图1中线段
和
的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形
都变为矩形，且
，
＝
，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若
矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形
和正方形中，点在一条直线上，连接（如图1）操作发现
（1）图1中线段
和的数量关系是 ，位置关系是 ．（2）在图1的基础上，将正方形
绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形
和正方形都变为矩形，且，＝，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．拓展探索
（4）在（3）的条件下，若
矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值
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名校
7 . 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
〖问题背景〗如图1，正方形中，点E为边上一点，连接
，过点作
交边于点，将
沿直线折叠后，点落在点
处，当
，则
°．
〖特例探究〗如图2，连接
，当点恰好落在上时，求证：
．
〖深入探究〗如图3，若把正方形改成矩形，且
，其他条件不变，他们发现与
之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．
〖拓展探究〗如图4，若把正方形改成菱形，且
，
，其他条件不变，当
时，请直接写出
的长．
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名校
8 . 综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形中，
，点在对角线上，过点分别作和
的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段
与的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当
时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形的边
时，点为直线上异于，
的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接
，若
，
，直接写出的长．
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形
中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______；【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形
绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．【解决问题】
如图3，当矩形
的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．
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2023-12-21更新
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203次组卷
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4卷引用：河南省郑州市金水区实验中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题
名校
9 . 综合与探究
【问题情境】
如图1，在中，
，
，点，分别在边，上，且
．
【数学思考】
（1）在图1中，的值为________；
（2）图1中保持不动，将绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展探究】
（3）在图2中延长，分别交，于点，，连接
，得到图3，
与
之间的数量关系为________________；
（4）若将绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，
交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
【问题情境】
如图1，在
中，，，点，分别在边，上，且．【数学思考】
（1）在图1中，
的值为________；（2）图1中
保持不动，将绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；【拓展探究】
（3）在图2中延长
，分别交，于点，，连接，得到图3，与之间的数量关系为________________；（4）若将
绕点按逆时针方向旋转到图4的位置，连接，，延长交的延长线于点，交于点，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
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10 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，
是边上一点，且
（为正整数），是边上的动点，连接，过点作
交直线于点．探究线段
之间的数量关系．
(1)【初步成知】
如图1，当
时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．
(2)【深入探究】
①如图2，当
，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接
，设的中点为
，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．
在
中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系．(1)【初步成知】
如图1，当
时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．| 小亮： 证明：连接 ． 由题意，可知  ，即 为的中点． 平分 ， ． ． ． ． ． ． ． | 小红： 证明：过点 作 于点 ， 于点．由题意，可知  和 均是等腰直角三角形，四边形 是矩形．  ．易得  ． ．…… |
(2)【深入探究】
①如图2，当
，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段
之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接
，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．
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