1 . 【阅读理解】设点
在矩形
内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形中，若
，则称为边
的“和谐点”．
【解题运用】已知，点在矩形内部，且
，
．
（1）设是边的“和谐点”，则_____边
的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接
，
，求
的值．
（2）若是边的“和谐点”，连接，
，当
时，求的值；
（3）如图2，若是边的“和谐点”，连接；，
，求
的最大值．
在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形中，若，则称为边的“和谐点”．【解题运用】已知，点
在矩形内部，且，．（1）设
是边的“和谐点”，则_____边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接，，求的值．（2）若
是边的“和谐点”，连接，，当时，求的值；（3）如图2，若
是边的“和谐点”，连接；，，求的最大值．
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2 . 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．
①求证：△PQM∽△COA；
②求线段PQ的长度的最大值．
（1）求该二次函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．
①求证：△PQM∽△COA；
②求线段PQ的长度的最大值．
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2021-03-09更新
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601次组卷
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4卷引用：期末难点特训（二）与相似三角形有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）
（已下线）期末难点特训（二）与相似三角形有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题浙江省宁波市余姚市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题浙江省宁波市各地区2020-2021学年九年级上学期数学期末大题难题汇编
3 . 如图，在
中，
，在的外部和内部（不在边上）分别取一点
，
，若
，
，
，
的补角等于
，
则下列结论：
①点
在线段
的垂直平分线上；②
；
③
；④的最大值是14．
其中正确的结论是_________ ．（填写所有正确结论的序号）
中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，则下列结论：
①点
在线段的垂直平分线上；②；③
；④的最大值是14．其中正确的结论是
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4 . 如图，已知
，
为
上一动点（不与、
）重合，分别以
、为边在的上方作等边
和等边
，连接
、
、、，且、相交于点.有下列结论：①
；②
；③平分
；④
外接圆面积的最小值为
.其中所有正确结论的序号是（ ）
，为上一动点（不与、）重合，分别以、为边在的上方作等边和等边，连接、、、，且、相交于点.有下列结论：①；②；③平分；④外接圆面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是（ ）| A．①② | B．①②③ | C．①②④ | D．①②③④ |
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22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习
5 . 已知
是等腰直角三角形， 
．过点A作
于点D，点P是直线上一点，以
为边，在的下方作等腰直角三角形
（如图），连接
，则的最小值为（ ）
是等腰直角三角形， ．过点A作于点D，点P是直线上一点，以为边，在的下方作等腰直角三角形（如图），连接，则的最小值为（ ）A． | B． | C． | D．1 |
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6 . 如图，矩形中，，
，动点从点出发向终点运动，连
，并过点作
，垂足为
．①
；②
的最小值为
；③在运动过程中，扫过的面积始终等于
扫过的面积；④在运动过程中，点的运动路径的长为
，其中正确的有______ （填写序号）
中，，，动点从点出发向终点运动，连，并过点作，垂足为．①；②的最小值为；③在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；④在运动过程中，点的运动路径的长为，其中正确的有
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2023-01-02更新
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153次组卷
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2卷引用：山东省济南市历下区济南第五中学2021-2022学年九年级下学期4月月考数学试题
7 . 如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN
相交于点F．
(1)求证：
；
(2)①在图2中，作出经过M，D，P三点的
（要求保留作图痕迹，不写做法）；
②随着点P在CD上运动，当①中的恰好与BM，BC同时相切，如图3，若
，求DP的长．
(3)在②的条件下，点Q是上的动点，则AQ的最小值为___________．
相交于点F．
(1)求证：
；(2)①在图2中，作出经过M，D，P三点的
（要求保留作图痕迹，不写做法）；②随着点P在CD上运动，当①中的
恰好与BM，BC同时相切，如图3，若，求DP的长．(3)在②的条件下，点Q是
上的动点，则AQ的最小值为___________．
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8 . 如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当
取最小值时，求∠QAC的正弦值．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当
取最小值时，求∠QAC的正弦值．
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真题
9 . 已知抛物线
与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点
，求
的最小值；
（2）已知点
中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：
与抛物线交于M，N两点，点A在直线
上，且
，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：
与
的面积相等．
与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点
，求的最小值；（2）已知点
中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；
②设直线l：
与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．
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2021-06-28更新
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3828次组卷
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10卷引用：专题18 函数与线段、面积等最值问题【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）
（已下线）专题18 函数与线段、面积等最值问题【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）江西省赣州市寻乌县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题2022年安徽省初中学业水平考试第一模拟数学试题湖北省荆州市楚都中学2021-2022学年九年级下学期3月月考数学试题（已下线）押福建卷25题（二次函数综合）-备战2022年中考数学临考题号押题（福建卷）江西省赣州市寻乌县2022--2023学年九年级上学期期末检测数学试卷2022年河北省承德市承德县中考二模数学试题福建省2021年中考数学试卷（已下线）福建省2021年中考数学真题变式汇编5（已下线）专题05 二次函数（压轴题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（福建专用）
10 . 如图，，垂足为，
，点为线段上一动点，连接
，过作
交
于，连接
，若
，
，则长的最小值为______ ．
，垂足为，，点为线段上一动点，连接，过作交于，连接，若，，则长的最小值为
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2021-04-29更新
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913次组卷
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5卷引用：专题27.13 相似三角形的判定（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
（已下线）专题27.13 相似三角形的判定（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题4.51《图形的相似》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题27.46 《相似》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题6.49 《图形的相似》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）2021年辽宁省鞍山市九年级下学期全市第一次质量调查数学试题（一模）
