解题方法
1 . 正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为
，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球表面积是___________ .
，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球表面积是
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解题方法
2 . 如图，已知边长为4的菱形
中，
，将
沿对角线
翻折至
所在的位置，若二面角
的大小为
，则过
，
，
，
四点的外接球的表面积为___________ .
中，，将沿对角线翻折至所在的位置，若二面角的大小为，则过，，，四点的外接球的表面积为
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名校
3 . 地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱
中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面
恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为___________ .(参考数据：
)
中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为)
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2021-07-08更新
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1168次组卷
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3卷引用：广东省汕头市潮阳实验学校2021届高三上学期第一次月考数学试题
名校
4 . 在长方体
中，
，
，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，
是底面内一动点，若直线
与平面
平行，当三角形
的面积最小时，三棱锥
的外接球的体积是______ ．
中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是
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2021-03-18更新
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2745次组卷
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6卷引用：山东省济宁市2021届高三一模数学试题
山东省济宁市2021届高三一模数学试题（已下线）押第16题 立体几何综合-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）（已下线）押新高考第16题 空间几何体-备战2021年高考数学临考题号押题（新高考专用）河南省郑州外国语学校2022-2023学年高三上期第二次调研考试文科数学试卷（已下线）模块六 立体几何 大招6 运动中找不变量2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）
名校
5 . 已知三棱锥
的顶点P在底面的射影O为的垂心，若的面积
，
的面积
，
的面积
，满足
，且三棱锥的外接球半径为3，则
的面积之和的最大值为_________ ．
的顶点P在底面的射影O为的垂心，若的面积，的面积，的面积，满足，且三棱锥的外接球半径为3，则的面积之和的最大值为
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2020-12-27更新
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1502次组卷
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3卷引用：江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高三上学期12月阶段性测试数学试题
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高三上学期12月阶段性测试数学试题湖南省怀化市第三中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题（已下线）第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）
名校
6 . 在长方体中，
，
，点
在正方形
内，
平面
，则三棱锥
的外接球表面积为______ .
中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为
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2020-11-29更新
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1923次组卷
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9卷引用：安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高三上学期期中理科数学试题
安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高三上学期期中理科数学试题（已下线）专题16 空间几何体（客观题）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题15 空间几何体（客观题）-2021年高考数学（文）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题08 外接球与内切球-2021年高考数学二轮复习解题技巧汇总（新高考地区专用）（已下线）专题15 空间几何体（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）（已下线）“8+4+4”小题强化训练(39)与球有关的问题-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题广西柳州市第三中学2023届高三下学期2月开学考数学（文）试题广西柳州市第三中学2023届高三下学期2月开学考数学（理）试题
名校
解题方法
7 . 三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是________ ；它的外接球的表面积是________ .
中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是
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2020-08-31更新
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1618次组卷
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5卷引用：安徽省淮南市寿县第一中学2020届高三下学期最后一卷数学(理)试题
安徽省淮南市寿县第一中学2020届高三下学期最后一卷数学(理)试题（已下线）仿真系列卷(04) - 决胜2021高考数学仿真系列卷（江苏等八省新高考地区专用）江苏省苏州工业园区星海实验中学2020-2021学年高一下学期5月阶段性检测数学试题福建省龙岩市连城县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题三 参数法 微点3 参数法综合训练【培优版】
名校
8 . 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，
且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑
，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑
拼接成的几何体的外接球的表面积是______ .
中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是
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2020-06-12更新
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3448次组卷
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11卷引用：山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟考试数学试题
山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟考试数学试题山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一6月月考数学试题（已下线）专题九 立体几何与空间向量-山东省2020二模汇编云南民族大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题云南民族大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题(二)（已下线）专题06 立体几何初步（难点）-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（北师大版2019必修第二册）（已下线）2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷（六）安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷（二）数学试题重庆市万州第二高级中学2024届高三上学期8月月考数学试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题三 球与翻折 微点2 球与翻折（二）【基础版】
名校
解题方法
9 . 如图所示，在边长为
的菱形中，
，现将
沿对角线
折起，得到三棱锥
.则当二面角
的大小为
时，三棱锥的外接球的表面积为______ .
的菱形中，，现将沿对角线折起，得到三棱锥.则当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为
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2020-04-22更新
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1463次组卷
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5卷引用：河北省邢台一中2019-2020学年高三下学期线上模拟数学（理）试题
河北省邢台一中2019-2020学年高三下学期线上模拟数学（理）试题江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中数学试题江苏省淮安市盱眙中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题（已下线）模块六 立体几何 大招3 外接球问题之双外心模型（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题五 几何体的外接球、棱切球、内切球 微点1 含二面角的外接球终极公式
名校
10 . 在三棱锥中，底面
是以为斜边的等腰直角三角形，且
，
，
与底面所成的角的正弦值为
，则三棱锥的外接球的体积为_______ .
中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，，与底面所成的角的正弦值为，则三棱锥的外接球的体积为
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