1 . 定义域为R的满足对，有，且当时，，设函数对应曲线为C，则以下对于函数性质描述正确的是______.
①是奇函数；
②是偶函数；
③是周期函数；
④直线是曲线的一条对称轴．

2 . 对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．
(1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；
(2)，证明：不能“任意双拆”；
(3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值．

3 . 对于集合A，称定义域与值域均为A的函数为集合 A上的等域函数．①若，则A上的等域函数有_______个；②若，使为A上的等域函数，a的取值范围是_______．

4 . 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．
(1)写出集合的所有不同的2划分；
(2)设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；
①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．
(3)设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．

5 . 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．
(1)判断是否是函数的点，并说明理由；
(2)若函数的集为，求的最大值；
(3)若定义域为的连续函数的集满足，求证：．

6 . 正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：，其中表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而表示正弦信号的幅度，是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为，，，（单位：Ω）．

和是两个输入信号，表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，与和的关系为：．
例如当，输入信号，时，输出信号：．
(1)若，输入信号，，则的最大值为___________；
(2)已知，，，输入信号，．若（其中），则___________；
(3)已知，，，且，．若的最大值为，则满足条件的一组电阻值，分别是_____________．

7 . 人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.
余弦相似度：.
余弦距离：.
(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值.

8 . 已知定义域为D的函数，若存在实数a，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
(1)判断下列函数是否具有性质，说明理由；①；②，.
(2)若函数的定义域为D，且具有性质，则“存在零点”是“”的___________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”､“必要而不充分”､“充分必要”､“既不充分也不必要”）
(3)若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.

9 . 设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.
若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

10 . 雨过天晴时，我们常能见到天空的彩虹，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线．当 ∥时，则称为光线为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，．再折射出球体外得到折射光线，当 ∥时则称为光线为霓．

图1                                          图2                                                    图3   

可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3中，入射光线经入射点P进入球内得到折射光线，过P的圆切线为，过点P的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；
（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线为虹，求；
（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率，折射光线为霓，求．