1 . 已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;

①       ；②.

（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;
（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.

2 . 已知，数列中的项均为不大于的正整数.表示中的个数.定义变换，将数列变成数列其中.
（Ⅰ）若，对数列，写出的值；
（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.求证： 的充分必要条件为
（Ⅲ）若，对于数列，令，求证：

3 . 已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．
Ⅰ求；
Ⅱ求证：在R上为增函数；
Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．

4 . 设是定义在R上的奇函数，且当时，，且．
求函数在R上的解析式；
判断并证明函数在上的单调性；
若对任意的，，，求实数m的最大值．

5 . 对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．
（I）已知集合，，写出，的值；
（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；
（III）已知均有性质，且，求的最小值.

6 . 已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：
① 函数在上是单调函数；
② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.
(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）
(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（ ）
(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.

7 . 已知函数在区间上有最大值和最小值.
(1)求的值；
(2)设，
证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；
(3)设，是否存在实数m和nm＜n，使的定义域和值域分别为，如果存在，求出m和n的值．若不存在，请说明理由．

8 . 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在使得成立．
（1）函数是否属于集合M？请说明理由；
（2）函数M，求a的取值范围；
（3）设函数，证明：函数M．

9 . 已知函数，R.
（1）证明：当时，函数是减函数；
（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的R，使得，且.

10 . 设，，为实数，且，若，满足，试写出与的关系，并证明这一关系中存在满足．