1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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2024-01-27更新
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816次组卷
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6卷引用：福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题
福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（2）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考（一）数学试题
名校
解题方法
2 . 已知函数
满足如下条件：①对任意
，
；②
；③对任意，
，总有
.
(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；
(2)证明：满足题干条件的函数在
上单调递增；
(3)①证明：对任意的
，
，其中
；
②证明：对任意的
，都有
.
满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有.(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；
(2)证明：满足题干条件的函数
在上单调递增；(3)①证明：对任意的
，，其中；②证明：对任意的
，都有.
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2022-11-11更新
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614次组卷
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3卷引用：广东省深圳中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
名校
解题方法
3 . 设函数
的定义域分别为
，且
．若对于任意
，都有
，则称
为在上的一个延伸函数．给定函数
．
(1)若是在给定
上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；
(2)设
为在上的任意一个延伸函数，且
是上的单调函数．
①证明：当
时，
．
②判断
在
的单调性（直接给出结论即可）；并证明：
都有
．
的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．(1)若
是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；(2)设
为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．①证明：当
时，．②判断
在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有．
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名校
解题方法
4 . 已知函数
．
(1)求方程
的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）；
(2)求函数
在区间
上的最大值；
(3)若函数
，且函数
的图象与函数
的图象有3个不同的交点，求实数
的取值范围．
．(1)求方程
的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）；(2)求函数
在区间上的最大值；(3)若函数
，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．
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2023-12-06更新
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426次组卷
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3卷引用：江苏省连云港市灌云高级中学、灌南惠泽高级中学2023-2024学年高一上学期期中调研数学试卷
名校
解题方法
5 . 若函数
的自变量的取值范围为
时，函数值的取值范围恰为
，就称区间为的一个“和谐区间” .
(1)先判断“函数
没有“和谐区间””是否正确，再写出函数
的“和谐区间”；（直接写出结论即可）
(2)若是定义在
上的奇函数，当
时，
.求的“和谐区间”.
的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间” .(1)先判断“函数
没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）(2)若
是定义在上的奇函数，当时，.求的“和谐区间”.
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2022-10-27更新
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449次组卷
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4卷引用：河北省文安县第一中学2022-2023学年高一（清北班）上学期10月月考数学试题
河北省文安县第一中学2022-2023学年高一（清北班）上学期10月月考数学试题广东省汕头市潮阳区2022-2023学年高一上学期期末数学试题（已下线）4.4.2 对数函数的图象和性质（分层作业）-【上好课】湖北省黄冈市武穴实验高中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
6 . 对于非负整数集合
（非空），若对任意
，或者
，或者
，则称为一个好集合．以下记
为的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于
的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足
的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合满足
，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．（1）给出所有的元素均小于
的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足
的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合
满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
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名校
解题方法
7 . 已知函数的定义域为，若存在实数
，使得对于任意
都存在
满足
，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为
的三个函数
，
，
是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数
为”自均值函数”，求
的取值范围．
的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．(1)判断定义域为
的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；(2)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；(3)若函数
为”自均值函数”，求的取值范围．
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名校
8 . 已知函数
（其中，
且
）的图象关于原点对称.
（1）求，的值；
（2）当
时，
①判断
在区间
上的单调性（只写出结论即可）；
②关于
的方程
在区间
上有两个不同的解，求实数
的取值范围.
（其中，且）的图象关于原点对称.（1）求
，的值；（2）当
时，①判断
在区间上的单调性（只写出结论即可）；②关于
的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.
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2021-03-10更新
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2207次组卷
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8卷引用：山东省德州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
9 . 已知二次函数
满足下列3个条件：
①的图象过坐标原点；②对于任意
都有
；③对于任意都有
.
（1）求函数的解析式；
（2）令
.（其中m为参数）
①求函数的单调区间；
②设
，函数在区间
上既有最大值又有最小值，请写出实数p，q的取值范围.（用m表示出p，q范围即可，不需要过程）
满足下列3个条件：①
的图象过坐标原点；②对于任意都有；③对于任意都有.（1）求函数
的解析式；（2）令
.（其中m为参数）①求函数
的单调区间；②设
，函数在区间上既有最大值又有最小值，请写出实数p，q的取值范围.（用m表示出p，q范围即可，不需要过程）
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2020-01-04更新
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392次组卷
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3卷引用：【市级联考】江苏省扬州市2018—2019学年高一第一学期期末检测试题数学
名校
10 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在
（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记
；又如，R在
（关于对称轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记
．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．
，
；
II．
，
；
Ⅲ．
，
，
；
Ⅳ．，
，
．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的
为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算
来说作成一个群．
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：
，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，
分别是G，H的单位元，
，，
分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I．
，；II．
，；Ⅲ．
，，；Ⅳ．
，，．对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的
为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，
分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群．
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2024-04-15更新
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958次组卷
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3卷引用：安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题
