1 . 若函数对任意的，均有，则称函数具有性质．
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①；②．
（2）若函数具有性质，且，求证：对任意有；
（3）在（2）的条件下，是否对任意均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．

2 . 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足．
（1）求与的解析式；
（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；
（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围．

3 . 已知，其中是实常数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；
（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.

4 . 已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.
（1）若，，均在集合中，求证：函数；
（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；
（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.

5 . 设函数．
（1）求函数的零点；
（2）当时，求证：在区间上单调递减；
（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围．

6 . 已知是定义在上的函数，满足．
（1）证明：2是函数的周期；
（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；
（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．

7 . 已知函数,设,其中,方程和方程根的个数分别为．
（1）求的值;
（2）证明:.

8 . 设（、为实常数）.
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集，对任何属于的、，都有成立？若存在试找出所有这样的；若不存在，请说明理由.

9 . 已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.
（1）判断函数在区间内是否具有唯一零点，说明理由：
（2）已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点.
（3）若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.

10 . 设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.