1 . 若函数
对任意的
，均有
，则称函数具有性质
．
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①
；②
．
（2）若函数具有性质，且
，求证：对任意
有
；
（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
对任意的，均有，则称函数具有性质．（1）判断下面两个函数是否具有性质
，并说明理由．①；②．（2）若函数
具有性质，且，求证：对任意有；（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
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2020-05-08更新
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970次组卷
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6卷引用：2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）
（已下线）2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）北京市首师大附2017-2018学年高三十月月考数学（文）试题2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题（已下线）重难点12 选考系列（参数方程与不等式）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）第四章 指数函数与对数函数单元检测卷（能力挑战）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）北京市第八十中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
2 . 已知函数
与
有相同的定义域
．若存在常数
(
)，使得对于任意的
，都存在
，满足
，则称函数是函数关于的“
函数”．
(1)若
，
，试判断函数是否是关于
的“函数”，并说明理由；
(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：
；
(3)已知
，
，其定义域均为
．给定正实数
，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．(1)若
，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；(2)若函数
与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；(3)已知
，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
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3 . 设函数
，定义集合
，集合
．
(1)若
，写出相应的集合
和
；
(2)若集合
，求出所有满足条件的
；
(3)若集合只含有一个元素，求证：
．
，定义集合，集合．(1)若
，写出相应的集合和；(2)若集合
，求出所有满足条件的；(3)若集合
只含有一个元素，求证：．
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名校
解题方法
4 . 已知函数的定义域为
，若存在常数
，使得对任意
，都有
，则称函数具有性质
．
(1)若函数具有性质
，求
的值
(2)设
，若
，求证：存在常数，使得具有性质
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．
的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．(1)若函数
具有性质，求的值(2)设
，若，求证：存在常数，使得具有性质(3)若函数
具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．
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2022-06-23更新
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840次组卷
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6卷引用：上海市长宁区2022届高考二模数学试题
上海市长宁区2022届高考二模数学试题（已下线）第03讲 函数及其性质-2（已下线）专题02 函数的概念与性质必考题型分类训练-3上海市闵行中学文绮中学2023届高三上学期开学考数学试题上海市市西中学2023届高三上学期期中数学试题上海市进才中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题
5 . 已知函数
满足
，其中
为常数.
(1)对
，证明：
；
(2)是否存在实数
，使得
，且
？若存在，求出
，
的值；若不存在，请说明理由.
满足，其中为常数.(1)对
，证明：；(2)是否存在实数
，使得，且？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
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名校
6 . 已知函数
为自然对数的底数）.
(1)当
时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；
(2)当
时，关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围.
为自然对数的底数）.(1)当
时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；(2)当
时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
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2022-01-21更新
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1326次组卷
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5卷引用：浙江省台州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
7 . 已知定义在实数集
上的偶函数和奇函数
满足
．
（1）求与的解析式；
（2）求证：在区间
上单调递增；并求在区间的反函数；
（3）设
（其中
为常数），若
对于
恒成立，求的取值范围．
上的偶函数和奇函数满足．（1）求
与的解析式；（2）求证：
在区间上单调递增；并求在区间的反函数；（3）设
（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围．
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2020-02-04更新
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643次组卷
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2卷引用：2016届上海市静安区高考一模（文科）数学试题
8 . 已知非空集合
是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意
，
均存在反函数
，且
；②对任意，方程
均有解；③对任意、
，若函数
为定义在上的一次函数，则
.
（1）若
，
，均在集合中，求证：函数
；
（2）若函数
（
）在集合中，求实数的取值范围；
（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数
，使得对一切，均有
.
是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.（1）若
，，均在集合中，求证：函数；（2）若函数
（）在集合中，求实数的取值范围；（3）若集合
中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.
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2020-01-16更新
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765次组卷
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3卷引用：2016届上海市杨浦区高三5月模拟（三模）（理）数学试题
名校
9 . 已知函数
，若在区间
内有且只有一个实数
，使得
成立，则称函数在区间内具有唯一零点.
（1）判断函数
在区间
内是否具有唯一零点，说明理由：
（2）已知向量
，
，
，证明
在区间
内具有唯一零点.
（3）若函数
在区间
内具有唯一零点，求实数的取值范围.
，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.（1）判断函数
在区间内是否具有唯一零点，说明理由：（2）已知向量
，，，证明在区间内具有唯一零点.（3）若函数
在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.
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2020-02-01更新
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329次组卷
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4卷引用：上海市进才中学2018届高三上学期第二次月考数学试题
上海市进才中学2018届高三上学期第二次月考数学试题2016届上海市静安区高三4月教学质量检测（二模）（文+理）数学试题2016届上海市静安区高考二模（理科）数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 已知是定义在上的函数，满足
．
（1）证明：2是函数的周期；
（2）当
，
时，，求在
，
时的解析式，并写出在
，
时的解析式；
（3）对于（2）中的函数，若关于
的方程
恰好有20个解，求实数的取值范围．
是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数
的周期；（2）当
，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数
，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．
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2020-08-13更新
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1381次组卷
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6卷引用：上海市实验学校2018届高三上学期第二次月考数学试题
上海市实验学校2018届高三上学期第二次月考数学试题2016届上海市嘉定区高三第三次模拟练习（文）数学试题2016届上海市嘉定区高考三模（文科）数学试题（已下线）专题2.3 函数的奇偶性与周期性（精测）-2021届高考数学（文）一轮复习讲练测（已下线）专题05函数的周期性和对称性 - 解题模板A上海市实验学校2022届高三上学期10月月考数学试题
