1 . 如果存在非零常数，对于函数定义域上的任意，都有成立，那么称函数为“函数”．
（Ⅰ）若，，试判断函数和是否是“函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：
（Ⅱ）求证：若是单调函数，则它是“函数”；
（Ⅲ）若函数是“函数”，求实数满足的条件．

2 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①函数在区间内是单调函数；②当定义域为时，的值域也是，则称是该函数的和谐区间.
（1）求证：函数不存在和谐区间；
（2）已知：函数有和谐区间，当变化时，求出的最大值；
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”，试再举一例有和谐区间的函数，并写出它的个和谐区间（不需要证明，但是不能用本题已经讨论过的以及形如的函数）.

3 . 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间.
（1）判断下列函数中，哪些是上的单峰函数？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，，，；
（2）若函数是区间上的单峰函数，证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间.
（3）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围.

4 . 已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，求实数的取值范围.

5 . 若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
（1）分别判断，在区间上是否是“弱增函数”（不必证明）；
（2）若函数（、是常数）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；
（3）已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.

6 . 若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
（1）分别判断，在区间上是否是“弱增函数”(不必证明)；
（2）若函数(､是常数)在区间上是“弱增函数”，求､应满足的条件；
（3）已知(是常数且)，若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.

7 . 已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。
（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。
（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。
（3）记集合存在常数，对任意的，有成立，证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。

8 . 已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数.
（1）求在上的限制函数的解析式；
（2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用]
（3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间.

9 . 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.