2025高三·全国·专题练习
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1 . 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中,侧棱底面ABCD,且,点E是的中点,连接、、.证明:平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.
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2 . 《九章算术》中有这样一段话:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑”,这里所谓的“阳马”,就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,四棱锥为阳马,底面,分别为的中点.(1)证明:平面;
(2)证明:平面;
(2)证明:平面;
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3 . 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为________ .
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4 . 古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿基米德齐名,著有《圆锥曲线论》八卷.平面内两个定点及动点,若(且),则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆.点为圆上一动点,为圆上一动点,点,则的最小值为________ .
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5 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动,并且始终保持与两平面都接触(如图).勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2,在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球,则该球的球半径最大值是_______ .
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6 . 如图1是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文,碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个球,圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径,相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图,那么图2中圆锥与球的表面积的比值为______ .
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7 . 《九章算术》中将正四棱台称为方亭,现有一方亭,体积为13,则该方亭的高是______ .
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8 . 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2),这两个三棱柱有一个公共侧面.在底面中,若,则该几何体的体积为( )
A. | B. | C.27 | D. |
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9 . (多选)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题:平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,已知,,圆上有且只有一个点满足,则的取值可以是( )
A.1 | B.4 | C.3 | D.5 |
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10 . 《九章算术》是我国古代的数学专著,是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中非常重要的一部.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上,且.若球的表面积为,则这个三棱柱的表面积是______ .
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