1 . 如图，已知AM是中BC边上的中线．求证：．

   

2 . 已知正项数列的前项和为，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，证明.

3 . 对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立．

4 . 古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图，为线段中点，为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连接，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段______；由该图形可以得出，，的大小关系为______.
   

5 . （1）比较与的大小；
（2）已知为不全相等的正实数，求证：.

6 . 已知函数．
(1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)比较，的大小．

7 . 设为数列的前n项和，.
(1)求；
(2)证明是等差数列.

8 . 已知数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为
①若，，成等比数列，求正整数的值；
②数列的前项和为，证明．

9 . 已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

10 . （1）已知，求证：.
（2）已知，，求代数式和的取值范围.