1 . 已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；
（2）若函数，，证明：.

2 . 已知函数，.
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值.

3 . 已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹Ω的方程；
（2）若椭圆上点（x₀，y₀）处的切线方程是：
①过直线l：x＝4上一点M引Ω的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N；
②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|＝λ|PN|•|QN|？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.

5 . 已知椭圆，焦距为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点和点，为坐标原点．证明：为定值．

7 . 已知直线是曲线的切线.
（1）求函数的解析式，
（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.

8 . 已知函数（）的单调递减区间为.
（I）求a的值；
（II）证明：当时，；
（III）若存在，使得当时，恒有，求实数k的取值范围.

9 . 已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的极值情况；
（Ⅱ）证明：当时，在上恒成立.

10 . 已知函数.
（1）证明：；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值和的最小值.