1 . 已知函数，作直线与图象从左向右分别交于两点，再分别过点作轴垂线，垂足分别为.
（1）求四边形的面积；
（2）记的最大值为，求证：.

2 . 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过，两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线：交双曲线于，两点，且线段被圆：三等分，求实数，的值．

3 . 设为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，两点.
（1）求的最大值；
（2）若直线与轴、轴分别交于，，且以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数的取值范围.

4 . 类比推理在数学发现中有重要的作用，运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征．比如：根据椭圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到双曲线的简单几何性质等．
（1）请同学们类比椭圆的简单几何性质，填写下表中双曲线的相关性质．

类比角度	椭圆的简单几何性质 （以为例）	双曲线的简单几何性质 （以为例）
范围
对称性	坐标原点为对称中心，x轴，y轴为对称轴
焦点坐标
顶点坐标
有关几何量及其关系	长轴长，短轴长，焦距， 且
离心率	且

（2）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，并且离心率为，求双曲线C的标准方程．

5 . 已知函数在上单调递减．
（1）求实数的取值范围；
（2）当实数取最大值时，方程恰有二解，求实数的取值范围；
（3）若，求证:．（注：为自然对数的底数）

6 . 易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．
（1）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；
③上盖､下底､侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计．
（2）建立模型
记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖､下底和侧壁的厚度分别为，
金属用料总量为C．
由几何知识得到如下数量关系：
①
②

由①得，代入②整理得：．

因为都是常数，不妨设，
则用料总量的函数简化为．
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________．
（3）求解模型：
所以，在___________(用表示)时，取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（4）检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
（5）模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：_________________________________________________________________________________________________．
相应改进措施为：_________________________________________________________________________________________________________________________________．

7 . 茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？

8 . ①；②．若直线为__________（选择①、②中的一个）的切线．
（1）求切点坐标；
（2）求实数a的值．
注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分．

9 . 设是定义在区间上的函数，在内任取个数，设，令，如果存在一个常数，使得， 恒成立，则称函数在区间上具有性质.已知函数，.
（Ⅰ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）试判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由.
（Ⅲ）试判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由.

10 . 有四个小镇恰好位于边长为10千米的菱形的四个顶点处．政府拟建公路连通四个小镇，若每千米公路的建设成本是10万元，预算为280万元，原计划按照菱形对角线修路．

（1）若预算刚好花完，求菱形的面积；
（2）若为正方形，施工队发现按照原计划修路会预算不足，于是采取如下新方案：按如图实线所示修路，其中，问：新方案能否在预算内完成修路目标？求出新方案的最低花费．