1 . 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

   

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的余弦值.

2 . 如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．

3 . 在直三棱柱中，E为棱上一点，，，D为棱上一点.
   
(1)若，且D为靠近B的三等分点，求证：平面平面；
(2)若△ABC为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值的大小.

4 . 如图，三棱柱的底面为等边三角形，侧面为菱形，，点D，E分别为BC，的中点，．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．

5 . 已知点为抛物线的焦点，点，过点作直线与抛物线顺次交于两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：直线过定点．

6 . 已知四棱锥的底面是正方形，且，点在底面上的射影在正方形内，且与平面所成角的正切值为．
   
(1)若分别是的中点，求证：点在平面内的射影在线段上，并求出的值；
(2)若是棱的中点，求二面角的余弦值.

7 . 如图，在三棱柱中，，，．

(1)求证：；
(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

8 . 如图，四边形是正方形，是矩形，平面平面，，是上一点，且.

(1)当时，求证：平面平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的余弦值.

9 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，，．

(1)证明：点E是PD的中点；
(2)求直线BE与平面ACE所成角的余弦值．

10 . 已知过曲线上一点作椭圆的切线，则切线的方程为.若为椭圆上的动点，过作的切线交圆于，过分别作的切线，直线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知为定直线上一动点，过的动直线与轨迹交于两个不同点，在线段上取一点，满足，试证明动点的轨迹过定点.