1 . 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设
、
是平面直角坐标系
内的两个定点，满足
的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是
；③
的取值范围是
；④
的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（ ）
、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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2023-04-21更新
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482次组卷
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2卷引用：上海市浦东新区2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
2 . 二次曲线
，则下列选项正确的是（ ）
，则下列选项正确的是（ ）A．曲线 关于 轴对称 |
B．曲线在 处的切线为 |
C．曲线与直线 有两个交点 |
D．曲线与圆 有四个交点 |
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名校
解题方法
3 . 在平面直角坐标系中，点
到两个定点，的距离的积等于
，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
中，点到两个定点，的距离的积等于，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）| A．曲线关于坐标轴对称 | B． 周长的最小值为 |
C．面积的最大值为 | D．点到原点距离的最小值为 |
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名校
4 . 中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“
”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点
，
距离之积等于
的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）
①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足
的P有且只有一个
③动点P到定点
，
距离之和的最小值为2a
④若直线
与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足
的P有且只有一个③动点P到定点
，距离之和的最小值为2a④若直线
与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为| A．1个 | B．2个 | C．3个 | D．4个 |
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2023-04-09更新
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444次组卷
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2卷引用：吉林省长春市实验中学2022-2023学年高二下学期期初考试数学试题
名校
5 . 伯努利双纽线最早于
年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.
年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点
是双纽线上一点，下列说法正确的有（ ）
年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（ ）A．双纽线既关于 轴对称，也关于轴对称 |
B．面积的最大值为 |
| C．双纽线上满足的点有两个 |
D． 的最大值为 |
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2023-03-18更新
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413次组卷
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3卷引用：福建省莆田第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（A)
福建省莆田第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（A)重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期期中学业质量联合调研抽测数学试题（已下线）专题08 抛物线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
6 . 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，
，
，动点P满足
，则下列结论正确的是（ ）
中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）A．点的横坐标的取值范围是 |
B．的取值范围是 |
C． 面积的最大值为 |
D． 的取值范围是 |
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2023-03-14更新
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4716次组卷
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6卷引用：广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题
广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题专题18平面解析几何（多选题）湖南省长沙市长郡中学2023届高三一模数学试题（已下线）“8+4+4”小题强化训练（27）安徽省舒城中学2023届高三仿真模拟卷（三）数学试题（已下线）江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期9月诊断测试数学试题
7 . 已知点
到定点
的距离比它到x轴的距离大
．则点P的轨迹C的方程为_____________ ；
到定点的距离比它到x轴的距离大．则点P的轨迹C的方程为
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8 . 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点
距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当
时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的个数是（ ）
①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足的P有且只有一个
③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4
④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的个数是（ ）①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足
的P有且只有一个③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4
④若直线
与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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名校
解题方法
9 . 已知抛物线
，开口向上的抛物线
与
有一个公共点
，且在该点处有相同的切线，
(1)求所有抛物线的方程；
(2)设点P是抛物线上的动点，且与点T不重合，过点P且斜率为
的直线
交抛物线于
两点，其中
，问是否存在实常数，使得
为定值？若存在，求出实常数；若不存在，说明理由.
，开口向上的抛物线与有一个公共点，且在该点处有相同的切线，(1)求所有抛物线
的方程；(2)设点P是抛物线
上的动点，且与点T不重合，过点P且斜率为的直线交抛物线于两点，其中，问是否存在实常数，使得为定值？若存在，求出实常数；若不存在，说明理由.
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名校
解题方法
10 . 已知曲线的方程为
，则下列说法中正确的有（ ）
的方程为，则下列说法中正确的有（ ）| A．曲线关于轴对称 |
| B．曲线关于原点中心对称 |
C．若动点、 都在曲线上，则线段 的最大值为 |
| D．曲线的面积小于3 |
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