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解题方法
1 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻,易拉罐(如图所示)作为饮品的容器,每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题,即在易拉罐的体积(容积)一定的情况下,如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省?他研究发现易拉罐的上盖、下底和侧壁的厚度是不同的,进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程,请回答其中问题.模型假设:①易拉罐近似看成一个圆柱体,容积一定;②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;③上盖、下底、侧壁所用金属相同; ④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(1)建立模型问题1: 填空:记圆柱容积为,高为,底面半径为, 则___________; ①记上盖、下底和侧壁的厚度分别为(底面半径都为),且侧壁展开可看成长方体(长、宽、高分别为),金属用料总量为C(接口材料忽略不计),则 ___________ ;②因为都是常数,不妨设,则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示) ③;
(2)求解模型:问题2:求解当取何值时(用表示),取得最小值,即用料最省?(写出解答过程)检验模型:小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优;
(3)模型评价与改进:问题3:模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注:只需一条原因及相应改进措施即可
(1)建立模型问题1: 填空:记圆柱容积为,高为,底面半径为, 则___________; ①记上盖、下底和侧壁的厚度分别为(底面半径都为),且侧壁展开可看成长方体(长、宽、高分别为),金属用料总量为C(接口材料忽略不计),则 ___________ ;②因为都是常数,不妨设,则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示) ③;
(2)求解模型:问题2:求解当取何值时(用表示),取得最小值,即用料最省?(写出解答过程)检验模型:小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优;
(3)模型评价与改进:问题3:模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注:只需一条原因及相应改进措施即可
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名校
2 . 牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先,设定一个起始点,如图,在处作图象的切线,切线与轴的交点横坐标记作:用替代重复上面的过程可得;一直继续下去,可得到一系列的数,,,…,,…在一定精确度下,用四舍五入法取值,当,近似值相等时,该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1),我们可以先构造函数,再用“牛顿法”求得零点的近似值,即为的近似值,则下列说法正确的是( )
A.对任意, |
B.若,且,则对任意, |
C.当时,需要作2条切线即可确定的值 |
D.无论在上取任何有理数都有 |
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2021-08-07更新
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1452次组卷
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9卷引用:第01讲 导数的概念与运算(三大题型)(讲义)
3 . 利用平面向量的坐标表示,可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”,即可将有序复数对(其中)视为一个向量,记作.类比平面向量可以定义其运算,两个复向量,的数量积定义为一个复数,记作,满足,复向量的模定义为.
(1)设,,为虚数单位,求复向量、的模;
(2)设、是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量,,(其中),成立,证明:对于复向量、,也成立;
②当时,称复向量与平行.若复向量与平行(其中为虚数单位,),求复数.
(1)设,,为虚数单位,求复向量、的模;
(2)设、是两个复向量,
①已知对于任意两个平面向量,,(其中),成立,证明:对于复向量、,也成立;
②当时,称复向量与平行.若复向量与平行(其中为虚数单位,),求复数.
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2023-07-04更新
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883次组卷
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14卷引用:专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳(拔尖篇)--举一反三系列-
(已下线)专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳(拔尖篇)--举一反三系列-(已下线)专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练-举一反三系列-(已下线)专题11+复数的四则运算(2)-《重难点题型·高分突破》(人教A版2019必修第二册)(已下线)7.2.2复数的乘、除运算——课后作业(提升版)单元测试B卷——第七章 复数(已下线)第9章 复数(单元测试卷)-同步精品课堂(沪教版2020必修第二册)(已下线)专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用)(已下线)期末测试卷03-《期末真题分类汇编》(上海专用)(已下线)专题03 复数-《期末真题分类汇编》(人教A版2019必修第二册)(已下线)上海市高一下学期期末真题必刷04-期末考点大串讲(沪教版2020必修二)安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一下学期5月同步测试数学试卷上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题(已下线)专题03 与复数有关的压轴题-【常考压轴题】(已下线)9.2 复数的几何意义-同步精品课堂(沪教版2020必修第二册)
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4 . 对于函数,把称为函数的一阶导,令,则将称为函数的二阶导,以此类推得到n阶导.为了方便书写,我们将n阶导用表示.
(1)已知函数,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列:在取作为数列的首项,并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数(),数列是的“n阶导数列”,取Tn为的前n项积,求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中,是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列,请写出它并证明此结论.(写出一个即可)
(1)已知函数,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列:在取作为数列的首项,并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数(),数列是的“n阶导数列”,取Tn为的前n项积,求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中,是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列,请写出它并证明此结论.(写出一个即可)
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2023-12-16更新
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816次组卷
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7卷引用:专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)
(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)广东省广州市番禺中学2024届高三第六次段考数学试题(已下线)信息必刷卷05(上海专用)(已下线)上海市高二下学期期末真题必刷04(压轴题)--高二期末考点大串讲(沪教版2020选修)上海市嘉定区2024届高三上学期质量调研数学试题上海市普陀区长征中学2024届高三上学期10月月考数学试题广东番禺中学2023-2024学年高三第六次段考数学试题
5 . 如果方程能确定是的函数,那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下:在方程中,把看成的函数,则方程可看成关于的恒等式,在等式两边同时对求导,然后解出即可.例如,求由方程所确定的隐函数的导数,将方程的两边同时对求导,则有(是的函数,需要用复合函数的求导法则求导),得.利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为( )
A. | B. |
C. | D. |
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名校
解题方法
6 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数,其中称为实部,称为虚部,i称为虚数单位,.当时,为实数;当且时,为纯虚数.其中,叫做复数的模.设,,,,,,如图,点,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.叫做复数的三角形式.
(2)设复数,,其中,求;
(3)在中,已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①;
②,,.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
(1)设复数,,求、的三角形式;
(2)设复数,,其中,求;
(3)在中,已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①;
②,,.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
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2024-03-12更新
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592次组卷
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4卷引用:黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期3月月度质量检测数学试题(已下线)模块五 专题六 全真拔高模拟2(已下线)第七章:复数(新题型)-同步精品课堂(人教A版2019必修第二册)
名校
解题方法
7 . 经研究发现:任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点,其中是的根,是的导数,是的导数.若函数图象的对称点为,且不等式对任意恒成立,则下列结论正确的是( )
A. | B. | C.的值可能是 | D.的值可能是 |
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2024-01-15更新
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493次组卷
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19卷引用:安徽省十五校教育集团2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题
安徽省十五校教育集团2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题江苏省苏州吴江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题(已下线)专题2 三次函数问题(过关集训)山东省烟台市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第二次考试数学试题重庆市2020-2021学年高三上学期12月诊断性考试数学试题山东省百所名校2020-2021学年上学期高三上学期12月联考数学试题江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高二上学期12月阶段检测数学试题(已下线)专题24 函数、不等式恒成立问题(测)-2021年高三数学二轮复习讲练测(新高考版)山东省部分重点中学2021届高三上学期数学第二次质量检测试题(已下线)数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略(一)(新高考地区专用)【学科网名师堂】 (5月19日)江苏省南京市田家炳高级中学2020-2021学年高二下学期期初模拟检测数学试题江苏省扬州市高邮市临泽中学2021-2022学年高三下学期7月末阶段性测试数学试题江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期第二次段考数学试题江苏省常州市前黄高级中学2021-2022学年高三上学期10月学情检测数学试题(已下线)第五章 导数及其应用B卷(综合培优)-【双基双测】2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(苏教版2019选择性必修第一册)安徽省淮北市树人高级中学2023届高三下学期开学考试数学试题江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考前模拟数学试题
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8 . 对于定义在上的函数,若存在距离为的两条平行直线和,使得对任意的都有,则称函数有一个宽度为的通道,与分别叫做函数的通道下界与通道上界.
(1)若,请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程;
(2)若,证明:存在宽度为2的通道;
(3)探究是否存在宽度为的通道?并说明理由.
(1)若,请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程;
(2)若,证明:存在宽度为2的通道;
(3)探究是否存在宽度为的通道?并说明理由.
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2024-04-29更新
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656次组卷
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4卷引用:湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺(一)数学试卷
湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺(一)数学试卷(已下线)情境12 结论未知的证明命题(已下线)压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题9题型汇总-1上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
9 . (多选)下列关于函数极值的说法正确的是( ).
A.导数值为0的点一定是函数的极值点 |
B.函数的极小值可大于它的极大值 |
C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值 |
D.若在区间上有极值,则在区间上不单调 |
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2022-04-15更新
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558次组卷
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7卷引用:陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题
陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题(已下线)专题10 利用导数研究函数的极值与最大(小)值 (十二大题型+过关检测专训)陕西省西安市经开第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题人教B版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第六章 6.2.2 第一课时 函数的导数与极值江苏省盐城市响水县第二中学2021-2022学年高二(11-18班)下学期期中数学试题(已下线)5.3.2-5.3.3 极值与最值-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)5.3.2.1 函数的极值(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第二册)
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解题方法
10 . 南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉.夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现观赏荷花只能在岸边,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景:若在玄武湖一个盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆形,如图所示)设计一些栈道和一个观景台,观景台在半圆形的中轴线上(图中与直径垂直,与不重合),通过栈道把连接起来,使人行在其中,犹如置身花海之感.已知,栈道总长度为函数.(1)求;
(2)若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台的位置,使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计),并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
(2)若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台的位置,使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计),并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
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2023-10-26更新
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798次组卷
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11卷引用:6.3利用导数解决实际问题(分层练习,5大题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第三册)
(已下线)6.3利用导数解决实际问题(分层练习,5大题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第三册)(已下线)5.3.2课时3导数在解决实际问题中的应用 第三课 知识扩展延伸四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高二下学期第一次学月质量检测(4月)数学试题安徽省九师联盟2023-2024学年高三上学期10月期中数学试题陕西省榆林市“府、米、绥、横、靖”五校2024届高三上学期10月联考文科数学试题河南省九师联盟2024届高三上学期10月质量检测数学试题山东省潍坊市昌乐县昌乐第一中学2023-2024学年高三上学期期中数学模拟试题山东省日照市五莲县第一中学2024届高三上学期期中考试数学模拟试题甘肃省定西市临洮中学2024届高三上学期10月月考数学试题河南省名校九师联盟2024届高三上学期10月质量检测数学(文)试题上海市静安区回民中学2024届高三上学期12月阶段性测试数学试题