1 . 数列满足:是大于1的正整数,试证明:在数列中存在相邻的两项,它们除以余数相同.
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2 . 1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式,该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线,该公式在近似计算,函数拟合,计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为:
其中,读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式,即欧拉公式,特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数(正余弦函数)的关系,利用欧拉公式还可以完成圆的等分,即棣莫弗定理的应用.
(1)请写出复数的三角形式,并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值(精确到0.001);
(2)请根据上述材料证明欧拉公式,并计算与;
(3)记,由棣莫弗定理得,从而得,复数,我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合,其中.
其中,读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式,即欧拉公式,特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数(正余弦函数)的关系,利用欧拉公式还可以完成圆的等分,即棣莫弗定理的应用.
(1)请写出复数的三角形式,并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值(精确到0.001);
(2)请根据上述材料证明欧拉公式,并计算与;
(3)记,由棣莫弗定理得,从而得,复数,我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合,其中.
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3 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,),例如:,对应.现对任意,定义莫比乌斯函数
(1)求;
(2)若正整数互质,证明:;
(3)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,证明:.
(1)求;
(2)若正整数互质,证明:;
(3)若且,记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为,证明:.
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2024-03-26更新
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1202次组卷
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5卷引用:湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测(4月)数学试题(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总(已下线)【人教A版(2019)】高二下学期期末模拟测试A卷
解题方法
4 . 设函数,.
(1)当时,证明:;
(2)若,求a的取值范围.
(1)当时,证明:;
(2)若,求a的取值范围.
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5 . 已知数列的首项,,.
(1)求的通项公式;
(2)证明:对任意的,,;
(3)证明:.
(1)求的通项公式;
(2)证明:对任意的,,;
(3)证明:.
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6 . 已知两个均含有项的有限数列,,其中对于,且.定义数列与之间的距离:.定义数列的“和序列”,其满足对于,,数列的项和记为:;定义数列的“和序列”,其满足对于,,数列的项和记为:.
(1)已知数列,,求和;
(2)当且时,求的所有可能取值;
(3)当且时,求的最大值和最小值,并分别列举一对数列,,使取到最大值和最小值;
(4)求证:对于,当且是4的倍数时,的最小值为0;
(5)当,时,直接写出一对数列,,使得.
(1)已知数列,,求和;
(2)当且时,求的所有可能取值;
(3)当且时,求的最大值和最小值,并分别列举一对数列,,使取到最大值和最小值;
(4)求证:对于,当且是4的倍数时,的最小值为0;
(5)当,时,直接写出一对数列,,使得.
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2023高三·全国·专题练习
7 . 设是正整数,
(1)证明:
(2)证明:
(3)证明:
(1)证明:
(2)证明:
(3)证明:
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8 . 如图,是的内心,的外角平分线交于点,直线交外接圆于点,直线与直线交点为,证明:.
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9 . 正数,满足,求证:.
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名校
解题方法
10 . 已知函数,,且
(1)若,且,试比较与的大小关系,并说明理由;
(2)若,且,证明:
(i);
(ii).
(参考数据:)
(1)若,且,试比较与的大小关系,并说明理由;
(2)若,且,证明:
(i);
(ii).
(参考数据:)
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