1 . 已知为正实数，且.
（1）求证：；
（2）求证：.

2 . 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品.若产品的优质品率为0.9.且各件产品是否为优质品相互独立.
（1）记为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求的期望与方差；
（2）求这批产品被接受的概率；
（3）若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记为整个产品检验过程中的总费用，求的分布列.
（附：，，，，）

3 . 如图，直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，（为常数），点分别为上的动点，已知.设（）.

（1）求面积关于角的函数解析式；
（2）求的最小值.

4 . 如图，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.

5 . 设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.

6 . 已知函数的最小值为M.
（1）求M；
（2）若正实数，，满足，求：的范围.

7 . 如图所示的三角形表，最早出现在我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书中，我们称之为“杨辉三角”．若等比数列的首项是1，公比是，将杨辉三角的第行的第1个数乘以，第2个数乘以，……，第个数乘以后，这一行的所有数字之和记作．

（1）求的值；
（2）当时，求展开式中含x项的系数．

8 . 已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.

9 . 已知正数满足，求的最小值.

10 . 对任意正整数，定义函数如下：
①；
②；
③.
（1）求的解析式；
（2）设是数列的前项和，证明：.