1 . 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
（i）求证：；
（ii）求证：.

2 . 称代数系统为一个有限群，如果
1.为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)，
2.
3.称为的单位元
4.，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算.
(1)设为有限群的子群，为中的元素. 求证:
(i)当且仅当；
(ii)与元素个数相同.
(2)设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算)

3 . 如果和除以所得余数相同，则称对模同余，记作，
若集合，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数，
（）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”
(1)判断为“灵魂莲华集合”
(2)若，判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对．

4 . “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.
(1)利用恒等式和，求函数和的最小值.
(2)在中，角对应的边为.
（i）求证：.
（ii）已知实数满足求二元函数的最大值.

6 . “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中.
(1)若的半径为1，求的外切正边形的面积；
(2)证明：；
(3)设，证明：.

7 . 我们定义的函数使得在上，证明：，当且仅当.
过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设，，．得到关于，的表达式（提示：，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．

8 . 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有．
(1)求，；
(2)求所有，，使得是奇数；
(3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：.

9 . 离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
(1)若，求；
(2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
(3)已知．对，令．证明：．