1 . 设
为一个质数，且
也是一个质数，证明：
的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
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2 . 给定正整数
.记
，
，2，3，….证明：对任意素数
，存在无穷多个非负整数对
，满足
，
，…，
这100个数都能被
整除，并且都不能被
整除.
.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除.
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3 . 设m是一个给定的正整数，d是它的一个正因子．已知
和
是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得
．证明：存在正整数t、s使得
．
和是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得．证明：存在正整数t、s使得．
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4 . 如果正整数n满足存在正整数a、b、c使得
，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．
注：对于正整数x，y，
表示x，y的最大公因数．
，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．注：对于正整数x，y，
表示x，y的最大公因数．
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5 . 若2020在p进制下的各位数字之和为
，则质数p的所有可能值为___________ .
，则质数p的所有可能值为
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6 . 用
表示正整数n的各位数字之和，求所有这样的三位数n，使得满足：
．
表示正整数n的各位数字之和，求所有这样的三位数n，使得满足：．
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7 . 已知正整数
，满足对任意的
，都有
，证明：对任意的
，都有
．
，满足对任意的，都有，证明：对任意的，都有．
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8 . 已知正整数
，设
为正整数满足
，求所有的值．（
表示不超过
的最大整数）
，设为正整数满足，求所有的值．（表示不超过的最大整数）
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9 . 证明：对任何正整数
，存在无穷多组整数，使得
（1）
互质；
（2）
；
（3）
．
，存在无穷多组整数，使得（1）
互质；（2）
；（3）
．
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10 . 若形如
的五位数满足，
能被37整除，则满足条件的五位数的个数是____ .
的五位数满足，能被37整除，则满足条件的五位数的个数是
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