1 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．

2 . 已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与直线平行，且l与C交于A，B两点，M（1，0），求· 的最小值．

3 . 已知点，不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于，两点.
(1)若M为线段AB的中点，证明：；
(2)设C的左焦点为F，若M在∠AFB的角平分线所在直线上，且l被圆截得的弦长为，求l的方程.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为椭圆上一点，的周长为6，面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的左焦点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，过作直线与垂直，交椭圆于，两点，弦，的中点分别为，.若的面积大于，求的取值范围.

5 . 设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若，求实数的取值范围.

6 . 已知，是椭圆的左、右焦点．椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于A，两点，且点A在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率．

7 . 在直角坐标系中，已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，设点的轨迹为．
(1)求出曲线的方程；
(2)设直线与交于，两点，若，求的值．

8 . 已知圆O₁：x²＋y²＝3，圆O₂：x²＋y²＝4，端点为原点的射线l交圆O₁于M，交圆O₂于N，过M作平行（或重合）于x轴的直线l₁，过N作平行（或重合）于y轴的直线l₂，l₁与l₂交于点E．记E的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)若点A，B是曲线C与x轴的交点（x_A＜x_B），直线y＝k（x－m）（k≠0）交曲线C于P，Q，k_AP＝2k_BQ，求m．

9 . 已知直线l：与椭圆C：交于A，B两个不同的点，O为坐标原点，M为y轴负半轴上的点，且.
(1)求k的取值范围；
(2)若点M恰好在AB的垂直平分线上，求此时k的值.

10 . 已知椭圆的右焦点为，长轴与短轴的长度之和.直线与相切于点，且与直线相交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立. ①以为直径的圆经过点；②.