1 . 已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为______.

2 . 已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两条曲线相交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右顶点的两条直线，分别与抛物线相交于点A，C和点B，D，且，设M是的中点，N是的中点，证明：直线恒过定点．

3 . 如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

4 . 已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的内接三角形，若坐标原点为的重心，求点到直线距离的最小值.

5 . 已知F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF₂面积最大时，求直线l的方程.

6 . 已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．

7 . 设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．

8 . 已知椭圆，点，直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
（1）当时，求的面积；
（2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值.

9 . 已知椭圆的左右焦点为，过（M不过椭圆的顶点和中心）且斜率为k直线l交椭圆于两点，与y轴交于点N，且.
   
（1）若直线l过点，求的周长；
（2）若直线l过点，求线段的中点R的轨迹方程；
（3）求证：为定值，并求出此定值.

10 . 已知椭圆的左右两焦点分别为、.
（1）若矩形的边在轴上，点、均在上，求该矩形绕轴旋转一周所得圆柱侧面积的取值范围；
（2）设斜率为的直线与交于、两点，线段的中点为（），求证：；
（3）过上一动点作直线，其中，过作直线的垂线交轴于点，问是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.