1 . 对于各数互不相等的整数数组（其中是不小于3的正整数），若，当时，有，则称，为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组的逆序数等于2.
（1）数组的逆序数等于______.
（2）若数组的逆序数为，则数组的逆序数为______.

2 . 数列中,如果对任意都有为常数),则称为等差比数列,k称为公差比.现给出下列命题:①等差比数列的公差比一定不为0;②等差数列一定是等差比数列;③若,则数列是等差比数列;④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比;其中正确的命题的序号为

A．①②

B．②③

C．①②③

D．①③④

3 . 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.

4 . 已知每项都是正整数的数列,其中等于的项有个(),设,.
(1)若,,,,,求,,,.
(2)若中最大的项为50,比较与的大小.
(3)若,求函数的最小值.

5 . 若无穷数列满足：只要,必有,则称具有性质.
（1）若具有性质,且,求；
（2）若无穷数列是等差数列,无穷数列是等比数列,,,.判断是否具有性质,并说明理由；
（3）设是无穷数列,已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

6 . 已知，，记 ，其中表示这个数中最大的数．
（1）求的值；
（2）证明是等差数列.

7 . 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.
（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；
（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

8 . 对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.

9 . 若数列满足：对于任意的正整数，，，且，则称该数列为“跳级数列”.
（1）若数列为“跳级数列”，且，求、的值；
（2）若数列为“跳级数列”，则对于任意一个大于的质数，在数列中总有一项是的倍数；
（3）若为奇质数，则存在一个“跳级数列”，使得数列中每一项都不是的倍数.

10 . 给定数列. 对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（1）设数列为3,4,7,1. 写出的值；
（2）设是公比大于的等比数列，且，证明是等比数列；
（3）若，证明是常数列.