1 . 设是由组成的行列的数表（每个数恰好出现一次），且．若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”，对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作．
(1)判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”；
，
(2)求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；
(3)在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望．

2 . 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和.若对任意，则称这个数列为“有限和数列”，试写出一个“最大的有限和数列”___________________．

3 . 设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.
例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)若数列的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前50项之和；
(3)若数列的前n项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和.

4 . 对于数列，定义数列如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值．
（）设是单调递增数列，若，则__________．
（）若数列的通项公式为，，则数列的通项是__________．

5 . 定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有，那么我们称数列为“—摆动数列”．
(1)设，，，判断数列，是否为“—摆动数列”，并说明理由；
(2)已知“—摆动数列”满足： ，求常数的值.

6 . 给定一个项的实数列，，，，任意选取一个实数，变换将数列，，，变换为数列，，，，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时所选择的实数．如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称，，，为“次归零变换”．
(1)对数列，，，，给出一个“次归零变换”，其中．
(2)对数列，，，，，给出一个“次归零变换”，其中．
(3)证明：对任意项的实数列，都存在“次归零变换”．

7 . 在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为．
(1)设数列为，，，，，写出，，的值．
(2)若为等比数列，且，求的值．
(3)若为等差数列，求出所有可能的数列

8 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，再接下来的三项是2⁰，2¹，2²，依此类推. 设该数列的前项和为,
规定：若,使得（），则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（i）求满足>70的最小的“佳幂数”;
（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.

9 . 设满足以下两个条件的有穷数列， ， ， 为阶“期待数列”：
①；
②.
(1)分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”.
(2)若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.
(3)记阶“期待数列”的前项和为，试证： .

10 . 数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：
①；②当时，记这样的数列个数为.
(1)写出的值；
(2)证明不能被4整除.