解题方法
1 . 如果n项有穷数列
满足
，
，…，
，即
，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列
是项数为7的“对称数列”，其中
成等差数列，且
，依次写出数列的每一项；
(2)设数列
是项数为
(
且
)的“对称数列”，且满足
，记
为数列的前
项和.
①若
，
，…，
构成单调递增数列，且
.当
为何值时，
取得最大值?
②若
，且
，求的最小值.
满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.(1)设数列
是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；(2)设数列
是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若
，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若
，且，求的最小值.
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2 . 差分法的定义：若数列的前项和为，且
，则
时，
．例如：已知数列的通项公式是
，前项和为，因为
，所以
．
(1)若数列的通项公式是
，求的前项和；
(2)若
，且数列
的前项和分别为
，证明：
．
的前项和为，且，则时，．例如：已知数列的通项公式是，前项和为，因为，所以．(1)若数列
的通项公式是，求的前项和；(2)若
，且数列的前项和分别为，证明：．
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2024-05-30更新
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168次组卷
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2卷引用：黑龙江省伊春市铁力市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
解题方法
3 . 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：
，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则
是斐波那契数列中的第______ 项．
，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第
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名校
解题方法
4 . 若给定数列，对于任意的
，若满足
，则称为“
型数列”．若数列满足：
，
，当时，
．
(1)判断数列
是否为“型数列”，并证明；
(2)求数列的通项公式；
(3)若
，
，使不等式
成立，求实数
的取值范围．
，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，．(1)判断数列
是否为“型数列”，并证明；(2)求数列
的通项公式；(3)若
，，使不等式成立，求实数的取值范围．
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名校
解题方法
5 . 已知数列的前n项和为．若对每一个
，有且仅有一个
，使得
，则称为“X数列”.记
，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，
，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：
．
的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若
的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列
为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
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2024-05-07更新
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1479次组卷
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4卷引用：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期第四次模拟数学试卷
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期第四次模拟数学试卷江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题（已下线）专题14 学科素养与综合问题（解答题19）湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题
6 . 在一个数列中，如果
，都有
（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且
，公积为8，则
（ ）
，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且，公积为8，则（ ）| A．28 | B．20 |
| C．24 | D．10 |
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名校
解题方法
7 . 定义
为个正数
的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为
，又
，则
（ ）
为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-04-29更新
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372次组卷
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3卷引用：黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题重庆市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）模块三 专题3 高考新题型专练（专题2：新定义专练）（北师大）（高二）
8 . 已知数列
的各项均为正整数，设集合
，
，记
的元素个数为
.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
(2)若
是递减数列，求证:“
”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列
，求证:
.
的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.(1)若数列A:1，3，5，7，求集合
，并写出的值;(2)若
是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;(3)已知数列
，求证:.
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2024-04-19更新
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336次组卷
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4卷引用：黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题
黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（已下线）2024年北京高考数学真题平行卷（基础）（已下线）集合与常用逻辑用语-综合测试卷B卷
名校
解题方法
9 . 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“
型数列”．
(1)若数列满足
，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足
，
，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
型数列”．(1)若数列
满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列
为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
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名校
解题方法
10 . 数列
满足：是等比数列，
，且
．
(1)求
；
(2)求集合
中所有元素的和；
(3)对数列，若存在互不相等的正整数
，使得
也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有
的值；若不是，说明理由．
满足：是等比数列，，且．(1)求
；(2)求集合
中所有元素的和；(3)对数列
，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
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2024-03-22更新
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1451次组卷
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5卷引用：黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题（已下线）第一套 艺体生新高考全真模拟 （二模重组卷1）湖北省黄冈市文海大联考2024届高三下学期临门一卷（三模）数学试题（已下线）专题07 数列通项公式与数列求和--高二期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）
