1 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列,对于,定义集合,设为集合中元素的个数,若时,规定.
(1)若,则______ ;
(2)若数列是等差数列,则数列的前50项之和为______ .
(1)若,则
(2)若数列是等差数列,则数列的前50项之和为
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2 . 角谷猜想,也称为“”猜想.其内容是:任取一个正整数,如果是偶数,将它除以2;如果是奇数,则将它乘以3再加上1,如此反复运算,该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数,按照上述规则实施第1次运算后的结果记为,实施第2次运算后的结果记为,…,实施第次运算后的结果记为,实施第n次运算后得到数1,停止运算,便可以得到有穷数列,1,其递推关系式为:叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为:(,且),其它规则不变,得到的数列记作数列,试解答以下问题:
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
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3 . 如果数列满足:且 则称为n阶“归化”数列.
(1)若某3阶“归化”数列是等差数列,且单调递增,写出该数列的各项;
(2)若某11阶“归化”数列是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)若为n阶“归化”数列,求证
(1)若某3阶“归化”数列是等差数列,且单调递增,写出该数列的各项;
(2)若某11阶“归化”数列是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)若为n阶“归化”数列,求证
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2024-07-20更新
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379次组卷
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4卷引用:湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题
解题方法
4 . 给定整数,数列,且,为整数.在中去掉一项,并将剩下的数分成项数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
(1)已知数列,写出的值及的特征值;
(2)若,当,其中,且时,证明:;
(3)已知数列的特征值为,求的最小值.
(1)已知数列,写出的值及的特征值;
(2)若,当,其中,且时,证明:;
(3)已知数列的特征值为,求的最小值.
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5 . 我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”,对任意冒泡数列,我们按如下步骤进行操作,称为“冒泡操作”
比较的大小,若,则交换的位置;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,若,再交换;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,,直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置,并进行下一步;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,…,直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作.
(1)请对数列5,3,2,9,7作冒泡操作,可表示为请写出操作结束后得到的数列,并计算交换位置的次数.
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”,记为
(i)求的最小值和最大值;
(ii)对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列,其交换复杂度的平均数记为,求的通项.
比较的大小,若,则交换的位置;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,若,再交换;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,,直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置,并进行下一步;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,…,直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作.
(1)请对数列5,3,2,9,7作冒泡操作,可表示为请写出操作结束后得到的数列,并计算交换位置的次数.
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”,记为
(i)求的最小值和最大值;
(ii)对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列,其交换复杂度的平均数记为,求的通项.
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名校
解题方法
6 . 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地,对无穷数列,,定义无穷数列,记作,称为与的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义,即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和,易知有交换律.(1)若,,,求,,,;
(2)对,定义如下:①当时,;②当时,为满足通项的数列,即将的每一项向后平移项,前项都取为0.试找到数列,使得;
(3)若,,证明:当时,.
(2)对,定义如下:①当时,;②当时,为满足通项的数列,即将的每一项向后平移项,前项都取为0.试找到数列,使得;
(3)若,,证明:当时,.
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2024-05-28更新
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822次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一数学试题浙江省(杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中)五校联考2024届高考数学模拟卷(已下线)拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题(七大题型)
名校
7 . 若数列的各项均为正数,对任意,有,则称数列为“对数凹性”数列.
(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由;
(2)若函数有三个零点,其中.
证明:数列为“对数凹性”数列;
(3)若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得.
证明:数列为“对数凹性”数列.
(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由;
(2)若函数有三个零点,其中.
证明:数列为“对数凹性”数列;
(3)若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得.
证明:数列为“对数凹性”数列.
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2024-05-13更新
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1163次组卷
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5卷引用:湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷
湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷山东省枣庄市2024届高三三调数学试题山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题(已下线)山东省济南市2024届高三下学期5月适应性考试(三模)数学试题(已下线)专题3 数列中的新定义压轴大题(过关集训)
名校
8 . 已知数列的通项为,前项和为,则下列选项中正确的有( )
A.如果,则,,使得 |
B.如果,则,,使得 |
C.如果,则,常数,使得恒成立 |
D.如果,,使得,则,,便得 |
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2024-04-22更新
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1143次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟试卷(二)数学试题
9 . 若数列在某项之后的所有项均为一常数,则称是“最终常数列”.已知对任意,函数和数列满足.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
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10 . 若数列满足:存在等差数列,使得集合元素的个数为不大于,则称数列具有性质.
(1)已知数列满足,.求证:数列是等差数列,且数列有性质;
(2)若数列有性质,数列有性质,证明:数列有性质;
(3)记为数列的前n项和,若数列具有性质,是否存在,使得数列具有性质?说明理由.
(1)已知数列满足,.求证:数列是等差数列,且数列有性质;
(2)若数列有性质,数列有性质,证明:数列有性质;
(3)记为数列的前n项和,若数列具有性质,是否存在,使得数列具有性质?说明理由.
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2024-04-10更新
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594次组卷
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4卷引用:湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题