1 . 定义:若对任意，数列的第项都等于数列的第项，则称数列为数列的“分段反序数列”.如:令，当时，，则，所以.已知数列的“分段反序数列”为，数列的前项和为.
(1)若，直接写出的值；
(2)若，求；
(3)若，证明:数列为常数列.

2 . 对于数列，若满足恒成立的最大正数为，则称为“数列”．
(1)已知等比数列的首项为1，公比为，且为“数列”，求；
(2)已知等差数列与其前项和均为“数列”，且与的单调性一致，求的通项公式；
(3)已知数列满足，若且，证明：存在实数，使得是“数列”，并求的最小值．

3 . 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

4 . 对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；
(2)若是公差为2的等差数列，求.

5 . 在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，，，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列的通项公式为______.

6 . 已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.

7 . 已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（     ）

A．若，则具有性质s

B．若，则具有性质t

C．若具有性质s，则

D．若等比数列既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为

8 . 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
(2)若，证明：；
(3)设，若，求的最小值．

9 . 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
(1)当，时，写出所有满足的数对序列；
(2)当时，证明：；
(3)当为奇数时，记的最大值为，求.

10 . 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.