1 . 若数列{a_n}满足n≥2，n∈N*时，a_n≠0，则称数列为{a_n}的“L数列”．
（1）若a₁＝1，且{a_n}的“L数列”为，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n＝n+k﹣3（k＞0），且{a_n}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；
（3）若，其中p＞1，记{a_n}的“L数列”的前n项和为S_n，试判断是否存在等差数列{c_n}，对任意n∈N*，都有c_n＜S_n＜c_n+1成立，并证明你的结论．

2 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

3 . 已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是_______.若，，且，则整数_______.

4 . 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=(nN*).若{b_n}是公差不为0的等差数列，且b₂b₇=b₁₁．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列；
（3）记c_n=，若存在k₁，k₂N*(k₁k₂)，使得成立，求实数a₁的取值范围．

5 . 若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②若对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．

(1)已知，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．

6 . 已知数列的首项，其前项和为，且满足若对任意恒成立，则的取值范围是_________.

7 . 已知在直角坐标系中，，其中数列，都是递增数列．
（1）若，，判断直线与是否平行；
（2）若数列，都是正项等差数列，设四边形的面积为，求证：也是等差数列；
（3）若，记直线的斜率为，数列的前8项依次递减，求满足条件的数列的个数．