1 . 已知数列
的各项均为非负实数，且对任意正整数
，均有
.
(1)若
成等差数列，证明：存在无穷多个正整数
，使得
；
(2)若
，求
的最大值.
的各项均为非负实数，且对任意正整数，均有.(1)若
成等差数列，证明：存在无穷多个正整数，使得；(2)若
，求的最大值.
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2 . 已知正项数列的前n项和为
，且
．
(1)求证：
(2)在
与
间插入n个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3项
，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
的前n项和为，且．(1)求证：
(2)在
与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
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2024-01-10更新
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984次组卷
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3卷引用：河北省石家庄市第二十七中学2024届高三上学期金太阳联考数学试题
3 . 已知数列满足
，
．
(1)设
，
，
是数列的连续三项，证明：，，
不可能为等比数列；
(2)当
时，证明：
．
满足，．(1)设
，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；(2)当
时，证明：．
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4 . 已知数列的首项为1，前n项和为，且
，其中．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)当时，求证：
．
的首项为1，前n项和为，且，其中．(1)求证：数列
是等比数列；(2)当
时，求证：．
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5 . 已知数列
的前
项和为，设
，数列
的前项和为
，求证：
．
的前项和为，设，数列的前项和为，求证：．
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6 . 若数列
满足
，数列
为E数列，记
．
(1)写出一个满足
，且
的E数列；
(2)若
，证明：E数列是递增数列的充要条件是
；
(3)对任意给定的整数
，是否存在首项为0的E数列，使得
？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由．
满足，数列为E数列，记．(1)写出一个满足
，且的E数列；(2)若
，证明：E数列是递增数列的充要条件是；(3)对任意给定的整数
，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由．
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2023高三·全国·专题练习
7 . 已知函数
．设数列
满足，
，数列满足
，
(1)用数学归纳法证明
；
(2)证明：
．
．设数列满足，，数列满足，(1)用数学归纳法证明
；(2)证明：
．
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解题方法
8 . 对于数列
，若存在正数，使得对任意
，
，都满足
，则称数列符合“
条件”.
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“
条件”？
(2)若首项为1，公比为
的正项等比数列符合“
条件”.求的范围；
(3)在（2）的条件下，记数列的前项和为，证明：存在正数
，使得数列
符合“
条件”.
，若存在正数，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”.(1)试判断公差为2的等差数列
是否符合“条件”？(2)若首项为1，公比为
的正项等比数列符合“条件”.求的范围；(3)在（2）的条件下，记数列
的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”.
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2023-02-07更新
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690次组卷
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4卷引用：上海市市北中学2022届高三上学期期中数学试题
9 . 已知以
为直径的半圆有一个内接正方形
，其边长为1（如图）．设
，作数列
；求证：
．
为直径的半圆有一个内接正方形，其边长为1（如图）．设，作数列；求证：．
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10 . 已知数列
满足
，并且
（
为非零参数，
）．
(1)若
成等比数列，求参数的值；
(2)设
，常数
且
，证明：
．
满足，并且（为非零参数，）．(1)若
成等比数列，求参数的值；(2)设
，常数且，证明：．
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