1 . 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.

2 . 已知m，n为正整数．
(1)用数学归纳法证明：当时，；
(2)对于，已知，求证，；
(3)求满足等式的所有正整数n．

4 . 已知数列满足：，且.
(1)证明：对于任意，数列中有无限项满足；
(2)已知，求证：.

5 . 已知函数（）.
(1)证明：；
(2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）.

6 . 已知数列满足，.
(1)令，求证：是等比数列；
(2)令，的前项和为，求证：.

7 . 已知数列的各项均为非负实数，且对任意正整数，均有.
(1)若成等差数列，证明：存在无穷多个正整数，使得；
(2)若，求的最大值.

8 . 已知数列的首项为1，前n项和为，且，其中．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)当时，求证：．

9 . 已知数列满足，．
(1)设，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；
(2)当时，证明：．

10 . 已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求证：
(2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．