1 . 设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最小的数．
(1)若，求的值；
(2)若，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

2 . 数列满足：或.对任意，都存在，使得，其中且两两不相等.
(1)若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①；②；③
(2)记.若，证明：；
(3)若，求的最小值.

3 . 已知实数数列满足：.
(1)若，，求，的值；
(2)试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
(3)若数列中的各项均不为0，记前2022项中值为负数的项个数为m，求m所有可能的取值.

4 . 若实数数列满足，则称数列为“Q数列”．
(1)若数列是Q数列，且，，求，的值；
(2)若数列是Q数列：
①试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
②若数列中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值．

5 . 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：
①对于任意的，（），；
②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
(1)若，且，，，，求的值；
(2)证明：，，不可能是数列中的项；
(3)求的最大值．

7 . 在递增数列中，，设，记使得成立的n的最小值为．
（1）设数列为1，3，4，5，写出的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求数列的前2m项和公式．

8 . 已知项数为的数列满足，若对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质．
（Ⅰ）判断数列0，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）设项数为10的数列具有性质，，求；
（Ⅲ）若数列具有性质，且不是等差数列，求．

9 . 对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．
（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．

10 . 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
（1）若具有性质“”，且，，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，互质，求证：具有性质“”.