1 . 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[     ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．

2 . 试分别解答下列两个小题：
（1）已知的定义域为，集合在区间上为增函数，求；
（2）解关于的不等式．

3 . 为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.
解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积；
（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
[参考公式：三元均值不等式及变形，当且仅当时取得等号]

4 . 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵（qiàn dǔ）．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”文中所述可用下图表示：

则几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为_______；若上图中的“立方”是棱长为1的正方体，则的中点到直线的距离等于________．

5 . 设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.

6 . 2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了40名男观众和40名女观众，已知男观众中有32人偏向燃油车，女观众中有16人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车.
(1)根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异；

	偏向燃油车	偏向新能源车	总计
男观众
女观众
总计

(2)现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望.
附：.

	0.1	0.05	0.01	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

7 . 扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域.研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长（单位与体长（单位：），得到如下数据：

样本编号	1	2	3	4	5	6
头长	15	15.3	15.3	16.6	16.8	17
体长	125	128	130	138	142	153

并计算得
(1)求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；
(2)求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）
(3)已知与可以用模型进行拟合，若某只扬子鳄的头长为，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.
附：相关系数.

8 . 某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．
(1)完成如下列联表：
单位：人

性别	满意		合计
	是	否
男
女
合计

根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？
(2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为）
附：．

	0.05	0.025	0.005
	3.841	5.024	7.879

9 . 我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：

	喜欢航天知识大讲堂	不喜欢航天知识大讲堂	合计
男	20		26
女		14
合计			50

附：，其中．

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联；
(2)现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望．

10 . ，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：

	合格	不合格	合计
高三年级的学生	54
高一年级的学生		16
合计			100

(1)请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828