1 . 定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数，都有成立，则x的最小值是______.

2 . 坐标系建立的方式不同，会导致曲线方程形式上的不同，如初中学过的反比例函数的图象也是双曲线．已知形如的函数图象均为双曲线，则双曲线的一个焦点坐标为__________．

3 . 已知正四面体ABCD，M，N分别是棱AB，CD上的点，且满足，直线MN的轨迹为曲面.P，Q，R分别为AB，AC，AD的中点，曲面与平面PQR的交线为圆锥曲线的一部分，该圆锥曲线的离心率为______.

4 . 我们称正有理数n为“友好数”，当且仅当化为最简分数时，a，b为奇数.则在集合中优好数的个数为______.

5 . 已知，且，实数满足，且，则的最小值是___________．

6 . 定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．

7 . 已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.

8 . 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程

若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.

9 . “迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）

10 . 设，，…，为曲线上个点，其横坐标为，，…，，若正常数使得存在，，，则常数的最小值为______.