1 . 如图，在菱形ABCD中，，，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD.

   

(1)求DE的长；（结果保留根号）
(2)点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，.
①求证：；
②求DF的长.（提示：过点E作于点H.）

2 . 设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.

3 . 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”．
(1)判断数集是否为“数集”；
(2)已知数集是“数集”，证明：
①；
②．
(3)已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：．

4 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n个图形中实心区域的面积为.

(1)写出数列和的通项公式；
(2)设，证明.

5 . 已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.

6 . 已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
(1)若求的最小值；
(2)若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.

7 . 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与重合），连接并延长与交于点，连.

   

(1)求的长.
(2)若，直接写出的长.
(3)①若点在之间（点不与点重合），求证：.
②若点在之间（点不与点重合），求与满足的关系.

8 . 已知有限集，若，则称A为“完全集”．
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
(3)若A为“完全集”，且，求A．

9 . 在中，为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接与相交于点.

   

(1)如图1，若为的中点，，连接，求线段的长；
(2)如图2，是线段延长线上一点，在线段上，连接，若，，证明；
(3)如图3，若为等边三角形，，点为线段上一点，且，点是直线上的动点，连接，请直接写出当最小时的面积.

10 . 定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．