1 . 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．
(1)当时，求球又回到甲手中的概率；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
(3)记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．

2 . 为庆祝六一国际儿童节，某单位组织本单位职工的小孩举行游艺活动．其中有个“套圈游戏”，游戏规则为：每个小孩有三次套圈机会，其中前两次每套中一次得1分，第三次套中得2分，没有套中得0分．套完三次后，根据总分确定获奖等第：总分为0分获三等奖，总分为1分或2分获二等奖，总分为3分或4分获一等奖．假设欢欢和乐乐两个小朋友每次套圈套中的概率分别为和，且每次套圈互不影响，
(1)求欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖的概率；
(2)试从平均得分的角度，分析欢欢和乐乐两位小朋友各自得哪个奖项的可能性较大？

3 . 为了迎接国庆，某市购进一批盆栽花卉，在市民广场摆放成花卉图案.该批花卉的品种共有四种（记为），且每种花卉均有100盆.
(1)现由甲､乙两人将这批花卉摆放成花卉图案，两人合作摆放完一种花卉后，再合作摆放下一种花卉.设甲摆放种花卉的盆数为随机变量，乙摆放种花卉的盆数为随机变量.证明：随机变量的方差相同；
(2)在这四个品种的花卉中，每个品种挑出3盆，将挑出的12盆花卉摆放在一起，小王在这12盆花卉中再挑三盆，记这三盆花中花卉的品种数为，求的分布列和数学期望.

4 . 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；一班级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
(1)求甲班每轮比赛得分、0分、1分的概率；
(2)两轮比赛后甲班得分为，求的分布列和数学期望；
(3)求甲班没有获胜的概率.

5 . 某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.
(1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？
(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？

6 . 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．

7 . 某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在五名学生中，三人能独立完成实验的概率均为，两人能独立完成实验的概率均为．
(1)若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率；
(2)设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量，若的数学期望，求的取值范围．

8 . 已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取 100 名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为 100 分，其中 80 分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有 10 名，成绩一般的学生中男生有 40 名，得到如下的列联表．

性别	考试成绩		合计
	优秀	一般
男生	10	40
女生
合计

(1)根据上述数据，完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与 “性别” 是否有关?
(2)从考试成绩在中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在的学生数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，（其中）

	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

9 . 全球新冠肺炎疫情反反复复，国家卫健委专家建议大家出门时佩戴口罩.为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某市质监局从药店随机抽取了500包某种品牌的口罩，测量其一项质量指标值，如下：

质量指标值
频数	10	45	110	165	120	40	10

(1)求这500包口罩质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)从质量指标值在的口罩中，按分层抽样抽取5包，从这5包中随机抽取2包，求两包口罩的质量指标值分别在和内的概率.

10 . 如图，圆锥中内接一个圆柱，是的中点，，圆柱的体积为.

(1)求圆锥的母线长；
(2)求图中圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比.