1 . 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立.
(1)小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；
(2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案，
方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；
方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验.
若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好?

2 . 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为.
(1)求;
(2)若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值.

3 . 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表.

	已订购小米SU7	未订购小米SU7	总计
是小米粉丝	80
非小米粉丝		40	80
总计

(1)补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关?
(2)小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率.
附:，其中.

	0.010	0.005	0.001
	6.635	7.879	10.828

4 . 一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.
   
(1)若，
①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列；
②求次试验中事件发生的次数的期望；
(2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？

5 . 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：

行政区	门类	个数
东城区	A：革命遗址及革命纪念建筑物	3
	C:古建筑及历史纪念建筑物	5
西城区	C:古建筑及历史纪念建筑物	2
丰台区	A:革命遗址及革命纪念建筑物	1
海淀区	C:古建筑及历史纪念建筑物	2
房山区	C:古建筑及历史纪念建筑物	1
	E:古遗址	1
昌平区	C:古建筑及历史纪念建筑物	1
	F:古墓葬	1
延庆区	C:古建筑及历史纪念建筑物	1

(1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
(2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
(3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）．

6 . 如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.

(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.

7 . 解下列各题：
(1)计算：；
(2)因式分解：；
(3)计算：；
(4)计算：.

8 . 甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.

9 . 某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生55人，女生45人进行测试，根据测试成绩得到如下列联表：

	成绩小于60分	成绩不小于60分	合计
男	10	45	55
女	15	30	45
合计	25	75	100

试根据小概率值的独立性检验，能否认为抽象思维与性别有关联？

10 . 某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意.
(1)试估计公司中对薪酬不满意的人数；
(2)从15名调查对象中抽取2人，用表示其中对薪酬不满意的人数，试求的数学期望；
(3)实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题：
问题A：你对公司薪酬是否不满意？
问题B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？
在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数.