1 . 某校举办《国学》知识问答中，有一道题目有5个选项A，B，C，D，E，并告知考生正确选项个数不超过3个，满分5分，若该题正确答案为，赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”.假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.
（1）若张小雷同学无法判断所有选项，只能猜，他在犹豫答案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”或者“任选3个选项作为答案”，以得分期望为决策依据，则他的最佳方案是哪一种？说明理由.
（2）已知有10名同学的答案都是3个选项，且他们的答案互不相同，他们此题的平均得分为x分.现从这10名同学中任选3名，计算得到这3名考生此题得分的平均分为y分，试求的概率.

2 . 在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:
方案一：每天回报元；
方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；
方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.
记三种方案第天的回报分别为，，.
（1）根据数列的定义判断数列，，的类型，并据此写出三个数列的通项公式；
（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.

3 . 为了提高学生复习的效果，某中学提出了两种学习激励方案，其中甲方案：课前提前预习并完成同步小练习可以获得分，课前提前预习但没有完成同步小练习可以获得分，课前没有提前预习也没有完成同步小练习则扣除分（即获取分），其中对学生调查发现甲方案中三种情况的概率分别为、、；乙方案：每天多做一套试题则获得分，若不能按时多做一套试题则扣除分（即获取分），若每天多做一套试题的概率为，每位同学可以参加两次甲方案或乙方案（但是甲、乙两种方案不能同时参与，只能选择其一），且两次方案互不影响规定参加两次方案后获得的分数为正，则获得学校的嘉奖；获得的分数为负，则没有嘉奖.
（1）若，试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖？请说明理由；
（2）当在什么范围内取值时，学生参与两次乙方案后取得的平均分更高？

4 . 从某商场随机抽取了2000件商品，按商品价格（元）进行统计，所得频率分布直方图如图所示.记价格在，，对应的小矩形的面积分别为，且.

（1）按分层抽样从价格在，的商品中共抽取6件，再从这6件中随机抽取2件作价格对比，求抽到的两件商品价格差超过800元的概率；
（2）在清明节期间，该商场制定了两种不同的促销方案：
方案一：全场商品打八折；
方案二：全场商品优惠如下表，如果你是消费者，你会选择哪种方案？为什么？（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）

商品价格
优惠（元）	30	50	140	160	280	320

5 . 集合.
(1)当时，求；
(2)问题：已知______，求的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
①；②；③.

7 . 全国人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法．通常在两次人口普查中间年份（一般为逢5的年份）进行全国1％人口抽样调查，采用分层、整群、概率比例、系统抽样的抽样方法．已知某高中高三年级共有20个班，共1000人，其中男生600人，女生400人，现在从该校高三学生中抽取10％的学生进行游戏时间调查．设置方案如下：一个罐子中放置了大小质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从一个罐子中随机抽取一个球，看过颜色后球放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”，问题1：你的性别是否为男生？问题2：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上？
（1）应该抽取多少学生，若用分层抽样的抽样方法，如何抽取这10％的学生？
（2）最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大比例的学生周末打游戏的时长在3小时及以上？

9 . 已知从境外回国的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通过核酸检测是否呈阳性来确定是否被感染.下面是两种检测方案：
方案一：逐个检测，直到能确定被感染者为止.
方案二：将8位同胞平均分为2组，将每组成员的核酸混合在一起后随机抽取一组进行检测，若检测呈阳性，则表明被感染者在这4位当中，然后逐个检测，直到确定被感染者为止；若检测呈阴性，则在另外一组中逐个进行检测，直到确定被感染者为止.
（1）根据方案一，求检测次数不多于两次的概率；
（2）若每次核酸检测费用都是100元，设方案二所需检测费用为，求的分布列与数学期望.

10 . 某公司为获得一款产品的质量认证，需要去检测机构检验产品是否含有有害物质，在检验中如果样品含有物质，称结果为阳性，否则为阴性．现有（，）份样本需要检验．有以下两种检验方案，方案甲：逐份检验，则需要检验次；方案乙：混合检验，将份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，检验的次数共为1次；若检验结果为阳性，为了确定样本中的阳性样本，则对份样本再逐一检验，即检验的次数共为次．每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阳性的概率为．
（1）若（，）份样本采用方案乙，设需要检验的总次数为，求的分布列及数学期望；
（2）若两种检验方案中，每一次检验费用都是元，且份样本混合检验一次需要额外收元的材料费，单独一个样本检验不需要材料费．假设在接受检验的样本中，，要使得采用方案乙总费用的数学期望低于方案甲，求的最大值．
参考数据：，，，，．