1 . 约数,又称因数.它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,即为.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)记,求证:.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)记,求证:.
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113次组卷
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15卷引用:高考数学冲刺押题卷02(2024新题型)
(已下线)高考数学冲刺押题卷02(2024新题型)(已下线)微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编(已下线)专题06 数列(已下线)第18题 数列与集合结合的新定义问题(高三备考9月刊)北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷(已下线)第四套 艺体生新高考全真模拟 (一模重组卷)湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(已下线)高二下学期第三次月考模拟卷(新题型)(范围:导数+选择性必修第三册)-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试(二)数学试卷A广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次大考数学试题福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷
2 . 若数列满足,且,则称数列为“稳定数列”.
(1)若数列为“稳定数列”,求的取值范围;
(2)若数列的前项和,判断数列是否为“稳定数列”,并说明理由;
(3)若无穷数列为“稳定数列”,且的前项和为,证明:当时,.
(1)若数列为“稳定数列”,求的取值范围;
(2)若数列的前项和,判断数列是否为“稳定数列”,并说明理由;
(3)若无穷数列为“稳定数列”,且的前项和为,证明:当时,.
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184次组卷
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3卷引用:第18题 数列与集合结合的新定义问题(高三备考9月刊)
3 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”,第一次得到数列:第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为(其中),并记;在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”,第一次得到数列;第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为(其中),当时,记.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
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2024-08-24更新
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336次组卷
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3卷引用:专题3 数列中的新定义压轴大题(过关集训)
4 . 角谷猜想,也称为“”猜想.其内容是:任取一个正整数,如果是偶数,将它除以2;如果是奇数,则将它乘以3再加上1,如此反复运算,该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数,按照上述规则实施第1次运算后的结果记为,实施第2次运算后的结果记为,…,实施第次运算后的结果记为,实施第n次运算后得到数1,停止运算,便可以得到有穷数列,1,其递推关系式为:叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为:(,且),其它规则不变,得到的数列记作数列,试解答以下问题:
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
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5 . 已知项数为的有穷数列的各项取遍中的所有整数,我们称该数列为“规范的”.对于一组规范列,从的第1项开始,取第1个符合题意的项,使不是的最大项,然后依次删除、第1个超过的项、第1个超过的项、,直到无法删除为止称为的1次“变换”.变换后剩余项按其相对位置不变构成新数列(新数列也许可以再次进行变换,则继续进行下去),直到最后剩下1项或1组递减数列统称为的“保留列”(若最终没有剩下任何一项则称是“不可保留的”,在此我们不研究这类数列),记保留列的项数为,若变换进行的次数为且,则称是“饱和的”(其中:表示不超过的最大整数).
(1)已知规范数列:5,3,2,1,4,6.求出其保留列并判断它是否为饱和的;若交换其第5、6项或交换其2、3项,请直接判断其是否为饱和的.
(2)若为饱和的规范列,它的项数与其保留列项数满足为正偶数:
(i)证明:任意规定的第项为其保留列,总至少存在个符合题意的(其中:).
(ii)若,对每一组任意给定的,求使的项最多有几个(用含的代数式).
(1)已知规范数列:5,3,2,1,4,6.求出其保留列并判断它是否为饱和的;若交换其第5、6项或交换其2、3项,请直接判断其是否为饱和的.
(2)若为饱和的规范列,它的项数与其保留列项数满足为正偶数:
(i)证明:任意规定的第项为其保留列,总至少存在个符合题意的(其中:).
(ii)若,对每一组任意给定的,求使的项最多有几个(用含的代数式).
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2024-08-24更新
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208次组卷
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3卷引用:专题3 数列中的新定义压轴大题(过关集训)
6 . 我们把满足下列条件的数列称为数列:
①数列的每一项都是正偶数;
②存在正奇数m,使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数.
(1)若a,b,c是公差为2的等差数列,求证:a,b,c不是数列;
(2)若数列满足对任意正整数p,q,恒有,且,判断数列是否是数列,并证明你的结论;
(3)已知各项均为正数的数列共有100项,且对任意,恒有,若数列为数列,求满足条件的所有两位数k值的和.
①数列的每一项都是正偶数;
②存在正奇数m,使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数.
(1)若a,b,c是公差为2的等差数列,求证:a,b,c不是数列;
(2)若数列满足对任意正整数p,q,恒有,且,判断数列是否是数列,并证明你的结论;
(3)已知各项均为正数的数列共有100项,且对任意,恒有,若数列为数列,求满足条件的所有两位数k值的和.
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7 . 如果项数相同的数列满足,且为奇数时,;为偶数时,,其中,那么就称为“互补交叉数列”,记为的“互补交叉数列对”,为的前项和.
(1)若,且,写出所有满足条件的“互补交叉数列对";
(2)当为“互补交叉数列”时,
(i)证明:取最大值时,存在;
(ii)当为偶数时,求的最大值.
(1)若,且,写出所有满足条件的“互补交叉数列对";
(2)当为“互补交叉数列”时,
(i)证明:取最大值时,存在;
(ii)当为偶数时,求的最大值.
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2014·北京石景山·一模
名校
解题方法
8 . 对于数列把a₁作为新数列的第一项,把a₁或作为新数列的第ⅰ项,数列称为数列的一个生成数列.例如,数列1,2,3,4,5的一个生成数列是.已知数列为数列的生成数列,为数列的前n项和.
(1)写出的所有可能值;
(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;
(3)证明:对于给定的的所有可能值组成的集合为.
(1)写出的所有可能值;
(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;
(3)证明:对于给定的的所有可能值组成的集合为.
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2024-08-24更新
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252次组卷
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5卷引用:专题3 数列中的新定义压轴大题(二)【讲】
(已下线)专题3 数列中的新定义压轴大题(二)【讲】(已下线)2014届北京市石景山区高三一模理科数学试卷上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数学试题山东省日照市2024届高三下学期校际联考(三模)数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题
2024高三·全国·专题练习
9 . 已知为有穷正整数数列,,且.从中选取第项,第项,,第项,称数列,为的长度为的子列.规定:数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数,数列存在长度为的子列,使得,则称数列为全覆盖数列.
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列;
(2)在数列中,若,求证:当时,;
(3)若数列满足:,且当时,,求证:数列为全覆盖数列.
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列;
(2)在数列中,若,求证:当时,;
(3)若数列满足:,且当时,,求证:数列为全覆盖数列.
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2024高三·全国·专题练习
10 . 已知双曲线,点在上,为常数,.按照如下方式依次构造点,过作斜率为的直线与的左支交于点,令为关于轴的对称点,记的坐标为.
(1)若,求;
(2)证明:数列是公比为的等比数列;
(1)若,求;
(2)证明:数列是公比为的等比数列;
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