1 . 设
，y是不超过x的最大整数，且记
，当
时，
的位数记为
例如：
，
，
．
(1)当
时，记由函数
的图象，直线
，
以及x轴围成的平面图形的面积为
，求
，
及
；
(2)是否存在正数M，对
，
，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
(3)当，
时，证明：
．
，y是不超过x的最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，．(1)当
时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；(2)是否存在正数M，对
，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；(3)当
，时，证明：．
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名校
解题方法
2 . 设函数
的定义域为
，给定区间
，若存在
，使得
，则称函数为区间
上的“均值函数”，
为函数的“均值点”．
(1)试判断函数
是否为区间
上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数
是区间
上的“均值函数”，求实数
的取值范围；
(3)若函数
（常数
）是区间
上的“均值函数”，且
为其“均值点”．将区间
任意划分成
（
）份，设分点的横坐标从小到大依次为
，记
，
，
．再将区间
等分成
（
）份，设等分点的横坐标从小到大依次为
，记
．求使得
的最小整数
的值．
的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．(1)试判断函数
是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；(2)已知函数
是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；(3)若函数
（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
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2023-12-14更新
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475次组卷
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4卷引用：上海市金山区2024届高三上学期质量监控数学试题
上海市金山区2024届高三上学期质量监控数学试题（已下线）专题09 导数（三大类型题）15区新题速递（已下线）专题03 函数（三大类型题）15区新题速递广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
3 . 已知函数
是定义在
上的奇函数，且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于
的不等式：
.
是定义在上的奇函数，且.(1)求函数
的解析式；(2)判断函数
在上的单调性，并用定义证明；(3)解关于
的不等式：.
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2022-01-02更新
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2793次组卷
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34卷引用：2016届安徽省示范高中高三第二次联考理科数学试卷
2016届安徽省示范高中高三第二次联考理科数学试卷云南省西点文化中学2018-2019学年高一下学期5月月考数学试题湖南省邵东县创新实验学校（文复班）高三上学期第二次月考数学（文）试题吉林省延吉市延边第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题宁夏银川六中2019-2020学年高一上学期期中数学试题吉林省延边二中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题甘肃省张掖市山丹县第一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题湖北省宜昌市长阳县一中2019-2020学年高一上学期期中数学试题湖南省永州市双牌县第二中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题辽宁省锦州市黑山中学2020-2021学年高三9月月考数学试题辽宁省沈阳市第一二O中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题广东省中山市纪念中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题广东省广东实验中学2020-2021学年高一上学期第一次段考数学试题湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一下学期入学考试数学试题宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题浙江省丽水外国语实验学校2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题安徽省六安市新安中学2022届高三(普通班)上学期第二次月考理科数学试题安徽省六安市新安中学2022届高三(重点班)上学期第二次月考理科数学试题福建省福州格致中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题云南省昆明市第十二中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）专题3.2 函数的基本性质-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（人教A版2019必修第一册） 河北省石家庄市2021-2022学年高一上学期期末数学试题第5章 函数的概念与性质（章末测试提高卷）-2021-2022学年高一数学同步单元测试定心卷（苏教版2019必修第一册）上海市杨浦高级中学2023届高三上学期开学摸底数学试题天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一上学期第一次适应性测试数学试题河北省石家庄市2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题上海市东华大学附属奉贤致远中学2024届高三上学期10月教学评估数学试题江西省信丰中学2023-2024学年高一上学期第二次（9月）月考数学（A）试题江西省铜鼓中学2023-2024学年高一上学期阶段测试三数学试题江西省赣州市大余县梅关中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题河北省石家庄市西山学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题
名校
解题方法
4 . 设函数定义在区间
上，若对任意的
、
、
、
，当
，且
时，不等式
成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数
，
是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数
，
具有M性质，求证：对任意的、，且
，有
；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、
，有
，其中等号当且仅当
时成立；
②已知函数
，
具有M性质，若
、
、
为三角形
的内角，求
的最大值.
(可参考：对于任意给定实数
、
，有
，且等号当且仅当
时成立.)
定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.(1)判断函数
，是否具有M性质，并说明理由；(2)已知函数
在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；(3)①已知函数
，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；②已知函数
，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.(可参考：对于任意给定实数
、，有，且等号当且仅当时成立.)
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2021-12-27更新
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697次组卷
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5卷引用：上海市黄浦区2022届高三一模数学试题
上海市黄浦区2022届高三一模数学试题（已下线）上海市黄浦区2022届高三上学期一模数学试题（已下线）第04讲 函数最值与性质-3上海市文来高中2023届高三上学期期中数学试题（已下线）专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用）
名校
5 . 设函数
和
都是定义在集合
上的函数，对于任意的
，都有
成立，则称函数与在上互为“
函数”．
(1)函数
与
在上互为“函数”，求集合；
(2)若函数
且
与
在集合上互为“函数”，求证：
；
(3)函数
与在集合
且
上互为“函数”，当
时，
，求函数在
上的解析式．
和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，则称函数与在上互为“函数”．(1)函数
与在上互为“函数”，求集合；(2)若函数
且与在集合上互为“函数”，求证：；(3)函数
与在集合且上互为“函数”，当时，，求函数在上的解析式．
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2021-11-18更新
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437次组卷
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3卷引用：上海市普陀区2022届高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试题
解题方法
6 . 已知函数
的定义域为
，当
时，
，且对任意
满足
．
（1）求
的值；
（2）判断的单调性，并加以说明；
（3）当时，试比较
与
的大小．
的定义域为，当时，，且对任意满足．（1）求
的值；（2）判断
的单调性，并加以说明；（3）当
时，试比较与的大小．
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名校
解题方法
7 . 已知函数
，其中
．
（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）记点
，求证：存在实数
，使得点
在函数图像上的充要条件是
；
（3）对于给定的非负实数，求最小的实数
，使得关于的不等式
对一切
恒成立.
，其中．（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由；（2）记点
，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；（3）对于给定的非负实数
，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.
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2020-08-07更新
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474次组卷
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2卷引用：上海市2022届高考模拟卷(二)数学试题
名校
8 . 已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且
，存在
，使得
，则称具有性质
.
（1）已知函数
，判断是否具有性质
，并说明理由；
（2）求证：任取
，函数
，
具有性质；
（3）已知函数
，，若具有性质，求的取值范围.
的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.（1）已知函数
，判断是否具有性质，并说明理由；（2）求证：任取
，函数，具有性质；（3）已知函数
，，若具有性质，求的取值范围.
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2020-02-29更新
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880次组卷
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4卷引用：2020届上海市青浦区高三一模（期末）数学试题
9 . 已知函数，
，函数
，记
.把函数
的最大值
称为函数的“线性拟合度”.
（1）设函数
，
，
，求此时函数的“线性拟合度”；
（2）若函数，的值域为
（
），
，求证：
；
（3）设
，，求
的值，使得函数的“线性拟合度”最小，并求出的最小值.
，，函数，记.把函数的最大值称为函数的“线性拟合度”.（1）设函数
，，，求此时函数的“线性拟合度”；（2）若函数
，的值域为（），，求证：；（3）设
，，求的值，使得函数的“线性拟合度”最小，并求出的最小值.
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10 . 已知函数
是定义在
上的奇函数.
（1）求的值与函数的值域.
（2）当
时，
恒成立，求实数的取值范围.
是定义在上的奇函数.（1）求
的值与函数的值域.（2）当
时，恒成立，求实数的取值范围.
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