1 . 定义满足的实数为函数的然点.已知.
(1)证明：对于，函数必有然点；
(2)设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明.

2 . 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
(1)求的通项公式；
(2)过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．

3 . 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

4 . ，，，．
(1)若，，证明：；
(2)是否存在使有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由．

5 . 设函数，
(1)求的最大值；
(2)求证：对于任意恒成立．（参考数值：）

6 . 已知函数.
(1)若是函数的极大值点，函数的极小值为.
①求实数的取值范围及的表达式；
②记为的最大值，求证：（是自然对数的底）.
(2)若在区间上有两个极值点.求证：.

7 . 已知函数，.
（Ⅰ）求的导数；
（Ⅱ）当时，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.
注：以下不等式可参考使用：对任意，，，恒有，当且仅当时“=”成立.

8 . 已知正数，满足方程.
（1）若，求证：方程有且只有一个实数解.
（2）当时，求证：；
（3）求证：.
参考数据：，.