1 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值.

2 . 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为.

   

(1)设的长为米，用表示；
(2)求扶梯的长；
(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.

3 . 用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
(1)，求的长；
(2)在中，若是钝角，求证：；
(3)给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.

4 . 某小区拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

   

(1)请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
(2)设，求的取值范围.

5 . 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

   

(1)将用含有的关系式表示出来；
(2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？

6 . 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角A；
(2)若，求周长的最大值；
(3)求的取值范围．

8 . 如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.

   

(1)求曲线段的解析式；
(2)若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
(3)若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.

9 . 在中，角所对的边分别是，点在边上且.已知边且.

   

(1)求边的长度；
(2)若点分别为线段､线段上的动点，且线段交于且的面积为面积的一半，求的最小值.

10 . 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)求灯柱的高（用表示）；
(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．