1 . 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足．
①求证：是数列的母函数；
②求数列的前项和．
(2)已知是数列的母函数，且，若数列的前项和为，求证：

2 . 已知数列满足，且.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设数列，求数列的前项和.

3 . 在数列中，，并且对于任意，都有．
（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和为．

4 . 设是等差数列的前项和，若公差，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．

5 . 设是数列的前项之积，并满足：.
（1）求；
（2）证明数列等差数列；
（3）令,证明前项和.

6 . 已知数列，，满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，对一切都成立，求数列的通项公式.

7 . 设是数列的前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．

8 . 已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得 成等差数列，试判断：对于任意的，且是否成等差数列，并证明你的结论.

9 . 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

10 . 已知数列满足：，，.
（1）求；
（2）求证：是等差数列，并求出；
（3）设，求证数列的前项和恒成立.