2022·上海·模拟预测
解题方法
1 . 已知数列
，
，的前
项和为
.
(1)若为等比数列，
，求
；
(2)若为等差数列，公差为
，对任意
，均满足
，求的取值范围.
，，的前项和为.(1)若
为等比数列，，求；(2)若
为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.
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2 . 设数列的各项都是正数，
是一个给定的正整数，若对于任意的正整数
，
成等比数列，则称数列为“
型”数列.
(1)若是“
型”数列，且
，求
的值；
(2)若是“
型”数列，且
，
，求的前项和.
的各项都是正数，是一个给定的正整数，若对于任意的正整数，成等比数列，则称数列为“型”数列.(1)若
是“型”数列，且，求的值；(2)若
是“型”数列，且，，求的前项和.
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解题方法
3 . 设数列的各项均为正数，前项和为，已知
.
(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)若
､
､…､
都在函数
的图像上，设数列
的前项和为
，求
的值.
的各项均为正数，前项和为，已知.(1)证明数列
是等差数列，并求其通项公式；(2)若
､､…､都在函数的图像上，设数列的前项和为，求的值.
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2022高三·上海·专题练习
4 . 已知无穷数列
的首项为
其前n项和为
且
（
），其中
为常数且
．
（1）设
，求数列的通项公式，并求
的值；
（2）设
，
，是否存在正整数k使得数列
中的项
成立？若存在，求出满足条件k的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且
，使得
．
的首项为其前n项和为且（），其中为常数且．（1）设
，求数列的通项公式，并求的值；（2）设
，，是否存在正整数k使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件k的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列
中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且，使得．
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5 . 设是公比为
的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.
（1）若
，
，判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使
；
（3）记
是数列的前项之积，
，若首项
为正整数，公比为
，试问：是否存在这样的封闭数列，使
，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由.
是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.（1）若
，，判断是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明
为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；（3）记
是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比为，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由.
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解题方法
6 . 已知
，数列的前项和为，且
；
（1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式；
（2）对于任意的
（其中
，
，
，
均为正整数），若
和
的所有的乘积
的和记为，试求
的值；
（3）设
，
，若数列
的前项和为
，是否存在这样的实数
，使得对于所有的都有
成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
，数列的前项和为，且；（1）求证：数列
是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意的
（其中，，，均为正整数），若和的所有的乘积的和记为，试求的值；（3）设
，，若数列的前项和为，是否存在这样的实数，使得对于所有的都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
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解题方法
7 . 如图所示，
，
，…，
，…是曲线
（
）上的点，
，
，…，
，…是x轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…均为等腰直角三角形（
为坐标原点）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求.
，，…，，…是曲线（）上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）.（1）求数列
的通项公式；（2）设
，求.
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2021-09-25更新
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548次组卷
|
2卷引用：高中数学解题兵法 第一百十二讲 归纳、猜想
8 . 设
，且
，其中m，
.
（1）求
中的最大数和最小数；
（2）求中所有元素之和；
（3）求
.
，且，其中m，.（1）求
中的最大数和最小数；（2）求
中所有元素之和；（3）求
.
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9 . 图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母
表示．如图所示，边长为1的正三角形被
层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为
，
．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．
（Ⅰ）写出，
的值，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．
（参考数据：
，
）
表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．（Ⅰ）写出
，的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的层数
，此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：
，）
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10 . 我们要计算由抛物线
、
轴以及直线
所围成的曲边区域的面积
，可用轴上的分点0、
、
、…、
、1将区间
分成个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为
、
、…、
，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为，就有
.
（1）求的表达式，并求出面积；（可以利用公式
）
（2）利用上述方法，探求由函数
、轴、
轴以及直线和所围成的区域的面积
.（可以利用公式：
）
、轴以及直线所围成的曲边区域的面积，可用轴上的分点0、、、…、、1将区间分成个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为、、…、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为，就有.（1）求
的表达式，并求出面积；（可以利用公式）（2）利用上述方法，探求由函数
、轴、轴以及直线和所围成的区域的面积.（可以利用公式：）
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