1 . 已知各项均不为0的数列
满足
（
是正整数），
，定义函数
，
是自然对数的底数.
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数
，其中
.
（i）证明：对任意
，
；
（ii）数列
满足
，设
为数列的前项和.数列
的极限的严格定义为：若存在一个常数
，使得对任意给定的正实数
（不论它多么小），总存在正整数m满足：当
时，恒有
成立，则称为数列
的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记函数
，其中.（i）证明：对任意
，；（ii）数列
满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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解题方法
2 . 已知数列的前项和为
，
，
.
(1)计算：
，
，
，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法来证明（1）中猜想；
(3)记
，求
.
的前项和为，，.(1)计算：
，，，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法来证明（1）中猜想；
(3)记
，求.
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3 . 如图，将一个边长为
的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作
(1)求
的周长；
(2)求所围成的面积；
(3)当
时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形．
的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作 (1)求
的周长；(2)求
所围成的面积；(3)当
时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形．
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4 . 已知等差数列
的前项和记为，等比数列
的前项和为，设
，
，
.
(1)求数列的通项
；
(2)设
求的最大值及此时的值.
的前项和记为，等比数列的前项和为，设，，.(1)求数列
的通项；(2)设
求的最大值及此时的值.
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5 . 已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，
（为正整数）.
(1)当
时，求的解析式；
(2)若函数
存在零点，且零点个数不超过10，求实数
的取值范围；
(3)求数列的前项和为
是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由
是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）.(1)当
时，求的解析式；(2)若函数
存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围；(3)求数列
的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由
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6 . 如图,直线
与抛物线
相交于不同的两点
,且
（
为正常数）,线段
中点为
.设
是与直线
平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为
.
(1)用
表示出点
的坐标,并证明
垂直于
轴;
(2)求
的面积（只与有关,与无关）;
(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接
,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为
,他立即写出了
的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗？若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.
与抛物线相交于不同的两点,且（为正常数）,线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为.(1)用
表示出点的坐标,并证明垂直于轴;(2)求
的面积（只与有关,与无关）;(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接
,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为,他立即写出了的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗？若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.
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解题方法
7 . 设函数
，
.
(1)若
，且函数
与
的图象有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点，求的值；
(2)已知
，对于满足（1）中条件的，求数列的前
项和
；
(3)若正实数使得的图象关于直线
对称，所有满足条件的构成的数列记为，且单调递增.求
的值.
，.(1)若
，且函数与的图象有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点，求的值；(2)已知
，对于满足（1）中条件的，求数列的前项和；(3)若正实数
使得的图象关于直线对称，所有满足条件的构成的数列记为，且单调递增.求的值.
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8 . 在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:
表1
消费者每次的还价
组成一个数列.
(1)写出此数列的前三项，并猜测通项
的表达式并求出
；
(2)若实际价格
与定出
的价格之比为
，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?
表1
| 次数 | 消费者还价 | 商家讨价 |
| 第一次 |  |  |
| 第二次 |  |  |
| 第三次 |  |  |
 | | |
| 第n次 |  |  |
组成一个数列.(1)写出此数列的前三项，并猜测通项
的表达式并求出；(2)若实际价格
与定出的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?
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解题方法
9 . 如图，
是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为
的等边三角形得到
，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到
、
、
、
、.
(1)设第次被剪去等边三角形面积为
，求；
(2)设的面积为，求
.
是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、.(1)设第
次被剪去等边三角形面积为，求；(2)设
的面积为，求.
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，
