1 . 设等比数列｛｝的公比为 q(q > 0，q ̸= 1)，前 n 项和为 Sn，且 2a₁a₃ = a₄，数列｛｝的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N^＊，b₂ = 1.
(1) 求数列 ｛｝，｛｝的通项公式；
(2) 是否存在常数 t，使得 {Sn+ } 为等比数列？说明理由；
(3) 设 c_n =，对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l，m(k < l < m), 使得 c_k，c₁，c_m 成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，说明理由.

2 . 已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.

3 . 若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．

4 . 已知数列，满足：对于任意正整数n，当n≥2时，．
（1）若，求的值；
（2）若，，且数列的各项均为正数．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在，且，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

5 . 设为整数，集合中的数由小到大组成数列．
（1）写出数列的前三项；
（2）求．

6 . 已知数列 满足：，，；数列 满足：．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）证明：数列 中的任意三项不可能成等差数列．

7 . 已知有2019个数满足：①；②，求证：．

8 . 已知数列，满足，，，则__________．

9 . 记等差数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；
（3）记，求证：.

10 . 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，___________.条件①：；条件②：.
请在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n.