1 . 设无穷数列的前项和为，已知，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立?若存在，请写出数列的所有通项公式；若不存在，请说明理由．

2 . 在等比数列中，公比，其前n项和为，且___________．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列满足，，求数列的通项公式．
从①，②，③是与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．

3 . 已知数列与的前n项和分别为A_n和B_n，且对任意恒成立．
(1) 若，求B_n；
(2) 若对任意，都有及成立，求正实数b₁的取值范围；
(3) 若，是否存在两个互不相等的整数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中
（1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

5 . 根据下列条件，确定数列{a_n}的通项公式．
(1)a₁＝1，a_n＝a_n－1(n≥2)；
(2)a₁＝2，a_n＋1＝a_n＋3n＋2；
(3)a₁＝1，a_n＋1＝3a_n＋2.

6 . 已知数列的首项为2，前项的和为，且（）．
（1）求的值；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使得为整数，若存在求出，若不存在说明理由.

7 . 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件，若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件..
（1）求当时，销售量，与时，销售量；
（2）试写出当广告费为千元时，销售量；
（3）当时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？

8 . 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列.已知“等差比”数列的前三项分别为，，，则数列的前项和_____.

9 . 已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.

10 . 若正项数列的首项为，且当数列是公比为的等比数列时，则称数列为“数列”.
（1）已知数列的通项公式为，证明：数列为“数列”；
（2）若数列为“数列”，且对任意，、、成等差数列，公差为.
①求与间的关系；
②若数列为递增数列，求的取值范围.