1 . 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．

2 . 若对，，当时，都有，则称数列受集合制约.
(1)若，判断是否受制约，是否受区间制约；
(2)若，受集合制约，求数列的通项公式；
(3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.

3 . 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”．
(1)若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．

4 . 已知等差数列公差为，前n项和为.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求的值；
(3)若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立.

5 . 已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：；
(3)比较和的大小．

6 . 对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.
(1)若集合，，写出集合与；
(2)若集合满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；
(3)设集合满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.

7 . 定义：符号表示实数、、中最大的一个数；表示、、中最小的一个数. 如，，.设是一个给定的正整数，数列共有项，记， .由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则.理由：，则.又，，于是，有.试解答下列问题：
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求通项公式；
（3）试构造项数为的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）

8 . 记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．
①，②；
（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．