1 . 设满足以下两个条件的有穷数列为n（）阶“期待数列”：
①；
②．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
(2)若某（）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“期待数列”的前k项和为（），试证：
（i）；
（ii）．

2 . 已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.

4 . 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知数列的前n项和为，，且满足__________.
(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为.
（i）求；
（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5 . 在数列中，.在等差数列中，前项和为，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

6 . 若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为，若数列为“摇摆数列”且，，则：
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.（注：）

7 . 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求；
(3)证明：．

8 . 已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

10 . 已知首项为2、公差为的等差数列满足：对任意的不相等的两个正整数i，j，都存在正整数k，使得成立，则公差d的所有取值构成的集合是______.